《微积分》上册第5章测验题解答

《微积分》上册第五章测验题参考解答

《微积分》上册 第五章测验题参考解答

专业 姓名 学号 成绩 一、填空题（本题共5小题，每小题2分，满分10分. 把答案填在题中横线上）： 1. 若?f(x)dx?(x2?1)e?x?c, 则f(x)＝(1?2x?x2)e?x. 2.

1?x?lnx12dx? lnx?x?lnx?C. ?x23. 若f(x)?x?x1(x?0),则?f?(x2)dx?x?lnx?C.

24. 设f?(lnx)?1?x则f(x)?x?ex?C. 5. 若

lnx12lnx?C. 为f(x)的一个原函数，则?xf?(x)dx??xxx二、选择题(本题共10小题，每小题2分，满分20分. 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内)： 1. 如果函数存在原函数，则原函数一定有（ D ）。

A. 一个 C. 有限个

2.

lnx。 ?xdx?（ B ）

1A. xln2x?C

2lnx?C C. xB. 两个 D. 无穷多个

12lnx?C 21lnxD. 2?2?C

xxB.

3. ?cscx(cotx?cscx)dx?（ D ）?C。

A. cscx?cotx C. ?cscx?cotx

B. cscx?cotx D. ?cscx?cotx

4. 若f(x)为可导、可积函数，则（ A ）。

???f(x) f(x)dxA. ????

1

?B. d???f(x)dx??f(x)

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C.

?f?(x)dx?f(x) D. ?df(x)?f(x)

5. 若?f(x)dx?x2?C，则?xf(1?x2)dx?（ D ）。

A. 2(1?x2)2?C B. ?2(1?x2)2?C

C.

1D. ?12(1?x2)2?C 2(1?x2)2?C

6．设?(1?k)sin2xdx?kcos2x?C, 则k = ( A ) .

A -1 B -2 C 1 D 2

7．若f(x)为连续函数，且?f(x)dx?F(x)?C,则下列各式中正确的是( C A．?f(ax?b)dx?F(ax?b)?C B.

?f(xn)xn?1dx?F(xn)?C C．?f(lnx)1xdx?F(lnx)?C D.

?f(e?x)e?xdx?F(e?x)?C

8. 若e?x是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?( B ).

A e?x(1?x)?C B. e?x(1?x)?C C. e?x(x?1)?C D. ?e?x(1?x)?C 9. 设f?(sinx)?cos2x.且f(0)?0,则f(x)?( D ).

A. sinx?13sin3x B. sin2x?13sin6x

C. x2?13x6 D. x?13x3

10. 设函数f(x)连续，且?xf(x)dx?x2ex?c,则?f(x)dx?( A ).

A.(x?1)ex?C B. (x?1)ex?C C. (x?2)ex?C D. (2?x)ex?C 三、计算题(每小题7分，共56分)： 1. 求??ex?e?x?2dx

解

??ex?e?x?2dx??(e2x?2?e-2x)dx?12?e2xd2x?2x?1-2x2?ed(?2x) ?1e2x?2x?1e?2x22?C 2. 求 ?xx2?1dx.

2

). 《微积分》上册第五章测验题参考解答

解 ?xx2?1dx? ?x2?1xdx?1 ?x2?1d(x2?1) 213?111122 ??(x?1)2?C?(x?1)2?C.

1231?23. 求?解dx1?1?xdx1?x22

costdtdt1?cost?t???t??dt21?cost1?costsint?1?令x?sint?? ?t??dtdsint1??t?cott??Csintsin2t?sin2t

1?x21 ?arcsinx???C.xx4. 求?dxx21?xdx22(x?0)

1x?1?d???x?2d2解

?x1?x????1?x1????x?22??12?

?1?1????x?21?x2?1??C ??1?????x?x?5. 求?ln(x?1?x2)dx 解

?ln(x?1?x2)dx?xln(x?1?x2)??x1?x2dx

?xln(x?1?x2)?12?11?x2d(x2?1)

?xln(x?1?x2)?1?x2?C.6. 求?解

x?1dx 2x?2x?5x?112x?22dx?dx??x2?2x?52?x2?2x?5?(x?1)2?4dx

?1x?1lnx2?2x?5?arctan?C. 22

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7. 设F(x)?f(x)?11?,G(x)?f(x)?,F'(x)?G2(x), 且f()?1, 求 f(x). f(x)f(x)4解 因为 F'(x)?G2(x)

则 f(x)?化简得 'f'(x)f(x)'22?f2(x)??11f(x)2?2f(x)1?f(x)

在上式两端积分, 得 arctanf(x)?x?C将条件 f()?1,代入上式, 得 C?04故 f(x)?tanx.?

8. 已知f(x)的一个原函数是xlnx,求?xf\x)dx.. 解 因为f(x)的一个原函数是xlnx, 则

x?f(x)d?xln?x C所以两边求导,得 f(x)?lnx?1,且f'(x)?1 x'?故 ?xf于是

'xf'(x)d?x'''x(f)?x?'(f)x?dx(x?f)x(? )f xC(x)dx??lnx?C.

四、应用题(本题8分)：

某商品的需求量Q为价格P的函数. 已知需求量的变化率为

1Q'(p)??1000ln3?()p

3且该商品的最大需量为1000.求该商品的需求函数.

1解 由已知需求量的变化率为Q'(p)??1000ln3?()p

3所以在上式两端积分, 得

1Q(p)??Q'(p)dp???1000ln3?()pdp3

11p1p ??1000?ln3?()?C?1000()?C(?ln3)33

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又因为该商品的最大需求量为Q =1000（P = 0时），代入上式, 得C = 0

1(. ) 故满足条件的需求函数 Q(p)?1000p3

五、证明题(本题6分)：

若己知F(x)是f(x)的一个原函数, 证明cos3xf(sin3x)dx=F(sin3x)?C

?13证明 因为

所以?f(x)dx?F(x)?C

13?cos3xf(sin3x)dx??1f(sin3x)dsin3x?F(sin3x)?C.

3

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