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设线段PQ中点为N，则点N的坐标为(2?k2k?2k?2,22)，由题意有kMN?k??1，
m?可得
2211k?2?k??1．可得m?k?0，又，所以． 0?m?2kk?22k?2（
S?MPQ?12Ⅲ）设椭圆
2上焦
2点，
为
F，则
?FM?x1?x2.x1?x2?(x1?x2)?4x1x2?8(k?1)(k?2)8(1m1m22由m?1k?22，可得k?2?21m?1)?2．所以x1?x2?8m(1?m)．又FM?1?m，
所以S?MPQ?2m(1?m).所以△MPQ的面积为23m(1?m)（0?m?1312）．
11设f(m)?m(1?m)3，则f'(m)?(1?m)2(1?4m)．可知f(m)在区间(0,)单调递增，在区间(,)单
442141276414调递减．所以，当m?368时，f(m)有最大值f()?4．所以，当m?时，△MPQ的面积有最大值
．
5)抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A,B两点，其中点A在第一象限.
（Ⅰ）求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；
?????????????????11（Ⅱ）若FA??1AP,BF??2FA,1?[,]，求?2的取值范围.
?242p2 解：（Ⅰ）由已知F(,0),设A(x1,y1)，则y1?2px1，
2圆心坐标为(FA212p22x1?p4,y12)，圆心到y轴的距离为
2x1?p4， 圆的半径为
??x1?(?)?2x1?p4，
所以，以线段FA为直径的圆与y轴相切.
????????????????（Ⅱ）解法一：设P(0,y0),B(x2,y2)，由FA??1AP,BF??2FA,得
(x1?x1?p2p2,y1)??1(?x1,y0?y1),1x??1y?(，(p2y0?x2,?y2)??2(x1?p2,y1)， 所以
???1， y1)1 9
p2?x2??2(x1?p2),y2???2y1，由y2???2y1，得y2??2y1.又y1?2px1，y2?2px2， ?x2??2(x1?p2p2)，得
p2??2x1??2(x1?222222所以 x2??22x1. 代入整理得x1??1?2p2?2p2p2)，
p2(1??2)?x1?2(1??2)，
， 代入x1????1x1，得
p2?2?p2???1p2?2，所以
1?2?1??1?2，
因为
?[411,]，所以?2的取值范围是[,2].
342p2解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB:x?my?y?2pmy?p?0，
22，将x?m?yp2代入y2?2px，得
????????????????所以y1y2??p（*），由FA??1AP，BF??2FA，得
2(x1?x1?p22p2,y1)??1(?x1,y0?y1),x1??y1(?1，
p(p2?x2,?y2)??2(x1?p2p2,y1)， 所以，
???y1)?0xy??2(x?，2112),y2???2y1， 将y2???2y1代入（*）式，
p2得y1??1?2p2?2， 所以2px1?p2?2，x1?p2?2. 代入x1????1x1，得
1?2?1??1?2. 因为
?[411,]，所以?2的取值范围是[,2].
342
解法三（几何法）：设抛物线的准线为l:x??p2，准线交x轴于K点，BA的延长线交准线于M点，过P
???作PH?l于H，分别过A、B作AI?l于I，BJ?l于J，设AP?m，则FA??1m，BF??1?2m，
?PF?m(1??1)
1由?APH相似于?MFK得，2pp?PMMF?PM?PF?m(1??1)
由抛物线的定义知，AI?AF??1m，BJ?BF??1?2m 由?MAI相似于?MBJ得， AIBJ??MAMB??1m?1?2m?m?m(1??1)2m(1??1)??1?2m?1?2??1?2?1?2?2?1?2
故设
1?1?2?1?2?2?1?2?2?1?2??2??1?1
?t?[111,]，则?1??2t。从面?2??2t?1??2?
1?t42 10
因为
12?1?t?34，所以
43??2?2。
11
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