初中数学《直角三角形边角关系》讲义初稿

直角三角形边角关系讲义

直角三角形边角关系讲义(初稿)

一、 概念部分 1、基本概念 正弦：在Rt?ABC（如图），锐角A的对边与斜边的比叫做?A的正弦，记为sinA，

sinA??A的对边a?。

斜边cBc余弦：在Rt?ABC（如图），锐角A的邻边与斜边的比叫做?Aa的余弦，记为cosA，cosA??A的邻边b?。

斜边cbAC正切：在Rt?ABC（如图），锐角A的对边与邻边的比叫做?A的正切，记为tanA，

tanA??A的对边a?。

?A的邻边b余切：在Rt?ABC（如图），锐角A的邻边与对边的比叫做?A的余切，记为cotA，

cotA??A的邻边b?。

?A的对边a2、巧记概念：按正弦、余弦、正切、余切的顺序记八个字：对斜邻斜对邻邻对。 3、根据正弦、余弦、正切、余切的定义，在Rt?ABC中，?C?90?，有sinA=cosB，sinB=cosA ，tanA=cotB，tanB=cotA。

4、正弦、余弦、正切的值与梯子倾斜程度之间的关系：

sinA的值越大，梯子越陡； cosA的值越小，梯子越陡； tanA的值越大，梯子越陡。

5、在Rt?ABC中，?C?90?，a、b、c分别是?A、?B、?C的对边，那么sinA?cosA?a， cbab， tanA?， cotA?可以变形为a?c?sinA，b?c?cosA，cbaaba?b?tanA或c?，c?等等，在解题中可以根据条件正确选用。

sinAcosA6、注意：

①、在初中，正弦、余弦、正切、余切的定义都是在直角三角形中给出的，不能在任意三角形中套用定义。

②、sinA、cosA、tanA、cotA分别表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin与A、cos与A、tan与A、cot与A的乘积。 ③sinA、cosA、tanA、cotA是一个完整的符号，它表示?A的正弦、余弦、正切、余切，记号里习惯省去角的符号“?”，但当角用三个大写字母或数字表示时，角的符号“?”不能省略。例如：tanA，tan?ABC，tan?1 都是正确的。 ④、正弦、余弦、正切、余切在直角三角形中它们分别表示对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值，所以它是没有单位的，当锐角A确定后，

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这些比值都是固定值。

⑤、求某个角的正弦、余弦、正切、余切函数值时，需把该角放入适当的直角三角形中，在某些非直角三角形的问题，通过作垂线转化为直角三角形来解决。 ⑥、已知直角三角形一锐角的某三角函数值就知道了某两边的比值，设未知数可把3条边都可用一个未知数表示出来，这样就可以求出任何两条边的比值。 例1：在?ABC中，?C?90?，AC=12，BC=5，

（1）求AB的长；（2）求sinA、cosA、tanA、cotA的值；（3）求sin2A?cos2A的值；（4）比较sinA与cosB的大小，tanA与cotB的大小。

变式练习：

1、在Rt?ABC中，?C?90?，a=5,b=2,则sinA= 。

2、在Rt?ABC中，?A?90?，如果BC=10，sinB=0.6，那么AC= 。 例2、如图，在?ABC中，?C?90?，AC=CB，AB=BD，求tanD的值。 A

变式练习：

DABC1、已知?ABC中，?C?90?，?A?45?，BD为AC边上中线，求

sin?ABD和tan?ABD的值。

DCB例3、 如图，在（1）求证：AC＝BD

中，AD是BC边上的高，。

（2）若，求AD的长。

分析：由于AD是BC边上的高，则有分利用锐角三角函数的概念使问题求解。

和，这样可以充

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解：（1）在中，有 中，有 ?tanB?cos?DAC ADAD??，故AC?BDBDAC（2）由 可设 由勾股定理求得 ?BC?12?BD?DC?18x?12 即 例4、如图，已知中?C?90?，

，求的面积（用

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的三角函数及m表示）

分析：要求的面积，由图只需求出BC。

解：由 ?BC?ACtan?BAC?AC?m，?BAC???BC?mtan??S?ABC?111AC?BC?m?mtan??m2tan?222

练习题：

一、填空题：

1、在?ABC中，?C?90?，a=4,b=3,则：sinA= cosA= tanA= cotA= sinB= cosB= tanB= cotB= 。 2、在Rt?ABC中，?C?90?，已知a=4,c=5则sinB= sinA= tanA= 3、在?ABC中，?C?90?，若tanB=2，a=1,则b= 。 4、?ABC中，?C?90?，cosA=0.8746，则sinB= 。 5、Rt?ABC中，?C?90?，tanA=

25，则sinB= 。 56、在?ABC中，?B?90?，AC边上中线BD=5，AB+BC=14，则?ABC的面积为 .

17、 Rt?ABC中，?C?90?， tanA=，AB=5，则AC= ，

2BC= 。

8、?ABC中，AB=AC，AB∶BC=2∶1，则sin、

A= sinB= 。 29、等腰三角形的腰长为10cm，底边为16cm，则它底角的正弦值是 .

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