高考数学第九章平面解析几何6第5讲椭圆(第2课时)直线与椭圆的位置关系练习理(含解析)

第2课时 直线与椭圆的位置关系

[基础题组练]

1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x＋y＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝

941的交点个数是( )

A．至多为1 C．1

解析：选B.由题意知，

4

2

2

2

2

x2y2

B．2 D．0

m＋n22

>2，即m＋n<2，

所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.

94

2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原

54点，则△OAB的面积为( )

4A. 35C. 4

5B. 3D.10 3

x2y2

x2y2

解析：选B.由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联

xy??＋＝1，11?54?立?54解得交点A(0，－2)，B?，?，所以S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×

22?33???y＝2x－2，

22

?－2－4?＝5，故选B.

??3?3?

3．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )

A.＋y＝1

2C.＋＝1 43

x2

2

B.＋＝1 33D.＋＝1 54

x2y2x2y2

x2y2

x2y2

解析：选C.设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线

abb232222222

与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b＝a－c，所以a＝4，b＝a－c＝4－1＝

a2

3，椭圆的方程为＋＝1.

43

x2y2

4．斜率为1的直线l与椭圆＋y＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )

4A．2 C.410

5

B.D.45

5810

5

x2

2

解析：选C.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，

??x＋4y＝4，22由?消去y，得5x＋8tx＋4(t－1)＝0. ?y＝x＋t?

2

2

84（t－1）则x1＋x2＝－t，x1x2＝.

55所以|AB|＝1＋k|x1－x2| ＝1＋k·（x1＋x2）－4x1x2 ＝2·2

2

22

?－8t?－4×4（t－1）＝42·5－t2， ?5?55??

2

2

410

当t＝0时，|AB|max＝. 5

5．中心为(0，0)，一个焦点为F(0，52)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐1

标为，则该椭圆的方程是( )

2

2x2yA.＋＝1 7525C.

＋＝1 2575

2

2

B.

＋＝1 7525

2

2

x2y2

x2y2

2x2yD.＋＝1 2575

2

2

xy?22

?＋22＝1，xya－50a解析：选C.c＝52，设椭圆方程为2＋＝1，联立方程?消去y，

a－50a2

??y＝3x－2，

整理得(10a－450)x－12(a－50)x＋4(a－50)－a(a－50)＝0，

12（a－50）xy2

由根与系数的关系得x1＋x2＝＝1，解得a＝75，所以椭圆方程为＋＝2

10a－45025751.

6．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦54

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x2y2

AB的长为________．

解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．

y＝2（x－1），??22

2

由方程组?xy消去y，整理得3x－5x＝0.

＋＝1，??54

设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系，得

x1＋x2＝，x1x2＝0.

则|AB|＝（x1－x2）＋（y1－y2） ＝（1＋k）[（x1＋x2）－4x1x2] ＝

2

2

2

2

53

??5?2?55

（1＋2）???－4×0?＝. 33????

2

55

答案： 3

7．直线m与椭圆＋y＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1

2≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．

1x中

解析：由点差法可求出k1＝－·，

2y中所以k1·

x2

2

y中11＝－，即k1k2＝－. x中22

1

答案：－

2

8．(2019·广东广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，点F关于1

直线y＝x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为________________．

2

x2y222

解析：设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，由题意可知c＝1，即a－b＝1①，设点F(1，0)

ab1n－0

关于直线y＝x的对称点为(m，n)，可得＝－2②.又因为点F与其对称点的中点坐标为

2m－13

m＝，?

?m＋1，n?，且中点在直线y＝1x上，所以有n＝1×m＋1③，联立②③，解得?5即对称?2?42?2222??

??n＝5，91694?34?22

点为?，?，代入椭圆方程可得2＋2＝1④，联立①④，解得a＝，b＝，所以椭圆

25a25b55?55?5x5y方程为＋＝1.

94

5x5y答案：＋＝1

94

2

2

2

2

x2y2

9．(2019·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别

ab3

为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|且cos∠F1PF2＝. 5

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，

?1?点Q?，0?，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围． ?4?

53

解：(1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则3r1＝5r2，又r1＋r2＝2a，所以r1＝a，r2＝

44

a.

22

r21＋r2－|F1F2|

在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝2r1r2

?5a?＋?3a?－22?4??4?

3????

53

2×a×a44

22

＝， 5

解得a＝2，因为c＝1，所以b＝a－c＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

43

222

x2y2

xy??＋＝1222

(2)联立方程，得?43，消去y得(3＋4k)x＋8kmx＋4m－12＝0，设A(x1，y1)，

??y＝kx＋m－8km4m－1222

B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝2，且Δ＝48(3＋4k－m)＞0，①

3＋4k3＋4k设AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0＝

2

22

x1＋x2

2－4km3m＝2，y0＝kx0＋m＝2， 3＋4k3＋4k?1?因为|AQ|＝|BQ|，所以AB⊥QM，又Q?，0?，M为AB的中点，所以k≠0，直线QM的斜率

?4?

3m22

3＋4k3＋4k存在，所以k·kQM＝k·＝－1，解得m＝－，②

－4km14k2－3＋4k4

?3＋4k?，整理得16k4＋8k2－3＞0，即(4k2－1)(4k2＋3)＞0，

把②代入①得3＋4k＞?－?4k??

2

2

2

1??111??解得k＞或k＜－，故k的取值范围为?－∞，－?∪?，＋∞?.

2??222??

x2y2π

10．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)，过点A(－a，0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点

ab6

到该直线的距离为

3. 2

(1)求椭圆的方程；