江苏省扬州中学2013届高三下期中数学测试

（这里也可利用求导来求最大值） 综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时．

??????????14分

x2y218．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)

ab3?4??a2b2?1?2??a?8?c1 由已知得：??，解得 ?2

a2?b?6??222?c?a?b??x2y2 所以椭圆的标准方程为：??1 ???????4分

86?3y?x?t??222 (Ⅱ) 由?，得6x?43tx?4t?24?0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

22?x?y?1?6?8则x1?x22243t24t2?24?(x1?x2)?2x1x2?(?)?2??8，为定值．???9分

66222（Ⅲ）因为直线l：y?kx?t与圆(x?1)?y?1相切 所以，

|t?k|1?k21?t2?1?2k?(t?0)

tx2y2??1并整理得：(3?4k2)x2?8ktx?4t2?24?0 把y?kx?t代入868kt 23?4k6t y1?y2?kx1?t?kx2?t?k(x1?x2)?2t? 23?4k 设M(x1,y1),N(x2,y2)，则有 x1?x2?? - 9 -

因为，?OP?(x1?x2,y1?y2)， 所以，P????8kt,2(3?4k)???6t?

(3?4k2)???8k2t26t2??1 又因为点P在椭圆上， 所以，222222(3?4k)?(3?4k)?2t221212 ???． 因为 所以 ?t?0()?()?1?1， 221213?4k2tt(2)?2?1tt2所以 0???2，所以

2?的取值范围为 (?2,0)?(0,2)． ???16分

2219，解：（Ⅰ）由题意，4Sn?(an?1)①，当n?2时，有4Sn?1?(an?1?1)②， ②-①，得(an?an?1)(an?an?1?2)?0，?{an}各项为正，?an?an?1?0， 从而an?an?1?2，故{an}成公差2的等差数列．又n?1时，4a1?(a1?1)，解得

2a1?1．故an?2n?1． ???????4分

2n?1，要使b1，b2，bm成等差数列，须2b2?b1?bm，

2n?1?t312m?14即2?，整理得m?3?，因为m，t为正整数，t只能取??2?t1?t2m?1?tt?1（Ⅱ）bn?2，3，5．故??t?2?t?3?t?5，?，?． ?????????10分

?m?7?m?5?m?422（Ⅲ）作如下构造：an1?(2k?3)，an2?(2k?3)(2k?5)，an3?(2k?5)，其中

k?N*，它们依次为数列{an}中第2k2?6k?5项，第2k2?8k?8项，第2k2?10k?13，显然它们成等比数列，且an1?an2?an3，所以它们能组成三角形．

由k?N的任意性，知这样的三角形有无穷多个．

下面用反证法证明其中任意两个?A1B1C1和?A2B2C2不相似：若?A1B1C1∽?A2B2C2，

* - 10 -

(2k1?3)(2k1?5)(2k1?3)22k1?52k1?3??且k1?k2，则，整理得，所以

(2k2?3)(2k2?5)(2k2?3)22k2?5)2k2?3k1?k2，这与k1?k2矛盾，因此，任意两个三角形不相似．故原命题正确．??16分

20．解：为方便，我们设函数g(x)?e，于是 （1）∵

xf?(x)??g?[?x?(1??)a]??g?(x)， 由

f?(x)?0得，

g?[?x?(1??)a]?g?(x)，

∴?x?(1??)a?x，即(1??)(x?a)?0，解得x?a， 故当x?a时，f?(x)?0；当x?a时，f?(x)?0；∴当x?a时，f(x)取极大值f(a)?(1??)e，但f(x)没有极小值． ??4分

???????10分

（3）对任意正数a1,a2，存在实数x1,x2使a1?e1，a2?e2， 则a11a22?e

???1x1xxa?e?2x2?e?1x1??2x2，?1a1??2a2??1ex1??2ex2，

- 11 -

?1?2原不等式a1a2??1a1??2a2?e?1x1??2x2??1ex1??2ex2，

?g(?1x1??2x2)??1g(x1)??2g(x2)

由（1）f(x)?(1??)g(a)恒成立，故g[?x?(1??)a]??g(x)?(1??)g(a)， 取x?x1,a?x2,???1,1????2，即得g(?1x1??2x2)??1g(x1)??2g(x2)， 即e?1x1??2x2??1ex1??2ex2，故所证不等式成立． ?????16分

21．A证明：连结EF．∵B,C,F,E四点共圆,∴?ABC?∠EFD． ∵AD∥BC，∴． ?BAD??ABC?180°

∴?BAD??EFD?180°． ∴A,D,F,E四点共圆．∵ED交AF于点G，∴

AG?GF?DG?GE．?10分

?1b??2??8????，即2?3b?8，2c?6?12，b?2，c?3， 21．B由?????c2??3??12?所以M???12?///．设曲线上任一点P(x,y)，P在M作用下对应点P(x,y)， ??32??y/?x/x?/??x/??12??x???x?x?2y?2则?/???，即，解之得， ?????///????32??y??y??y?3x?2y?y?3x?y?4?代入5x?8xy?4y?1，得x2222/2?y/?2．

222即曲线5x?8xy?4y?1在M的作用下的新曲线方程是x?y?2．??10分 21．C l的直角坐标方程为y?3x?(x?2?，??2cos(??)的直角坐标方程为24?22?22226,l到直线的距离，)?(y?)?1，所以圆心?d???22?224???AB?10???????10分

2

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