2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．

（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人， 其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人， 记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，

，

，

．

所以X的分布列为 X P 或

19．PA⊥底面ABCD，AD=AP，如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，E为棱PD中点．

（1）求证：PD⊥平面ABE； （2）若F为AB中点，﹣B的余弦值为

．

，试确定λ的值，使二面角P﹣FM

1 2 3 ．

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【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE． （II） 以A为原点，以

为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系

A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB，

又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，

∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE?平面ABE，AB?平面ABE，∴PD⊥平面ABE． （II） 以A为原点，以A﹣BDP，令|AB|=2，

为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系

则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），2λ，2﹣2λ）

设平面PFM的法向量

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，，，M（2λ，

，，即，

设平面BFM的法向量即

，， ，

，解得

．

20．已知点P是长轴长为

的椭圆Q：

上异于顶点的一个

动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为（1）求椭圆Q的方程；

（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是小值．

【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）利用椭圆Q的长轴长为线PA与OM的斜率之积恒为

，求出

．设P（x0，y0），通过直

，求|CD|的最

．

，化简求出b，即可得到椭圆方程．

有（1+2k2）x2+4k2x+2k2

（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入

﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），利用韦达定理求出CD的垂直平分线方程，推出的最小值．

【解答】解：（1）∵椭圆Q的长轴长为设P（x0，y0），

，∴

．

，利用弦长公式化简，推出|CD|

∵直线PA与OM的斜率之积恒为，∴，

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∴，∴b=1，

．

有（1+2k2）x2+4k2x+2k2

故椭圆的方程为

（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入﹣2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0）， ∴

．

∴

∴CD的垂直平分线方程为令y=0，得∵

．

，

，

∴，∴

=

，．

21．已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x+2）2（x＞0）．

（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围； （2）当取值范围．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数f'（x）=ex+（x﹣2）ex+2ax+4a，通过f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．得到及最值求解即可．

（2）通过[f'（x）]′=x?ex+2a＞0，数码y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增，利用

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时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的

，构造函数，利用导函数的单调性以