上海历年中考数学压轴题复习

2006 年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷

25（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分3

分）

已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上。以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。

（1） 如图9，如果AP=2PB，PB=BO。求证：△CAO∽△BCO； （2） 如果AP=m（m是常数，且m〉1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项。当点C在圆

O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）；

（3） 在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，

并写出相应m的取值范围。

C A

P B O 图9

25．（1）证明：QAP?2PB?PB?BO?PO，?AO?2PO．

AOPO??2． ······················· （2分） POBOQPO?CO， ························· （1分） AOCO．Q∠COA?∠BOC，?△CAO∽△BCO． ····· （1分） ??COBO（2）解：设OP?x，则OB?x?1，OA?x?m，QOP是OA，OB的比例中项， ??x2??x?1??x?m?， ····················· （1分）

mm，即OP?． ·················· （1分） m?1m?11． ························· （1分） ?OB?m?1得x?QOP是OA，OB的比例中项，即QOP?OC，?OAOP， ?OPOBOAOC． ··················· （1分） ?OCOB设圆O与线段AB的延长线相交于点Q，当点C与点P，点Q不重合时，

Q∠AOC?∠COB，?△CAO∽△BCO． ············ （1分） ACOC． ························· （1分） ??BCOBACOCOPAC????m；当点C与点P或点Q重合时，可得?m， BCOBOBBC?当点C在圆O上运动时，AC:BC?m； ············· （1分）

（3）解：由（2）得，AC?BC，且AC?BC??m?1?BC?m?1?，

AC?BC??m?1?BC，圆B和圆C的圆心距d?BC，

显然BC??m?1?BC，?圆B和圆C的位置关系只可能相交、内切或内含． 当圆B与圆C相交时，?m?1?BC?BC??m?1?BC，得0?m?2，

Qm?1，?1?m?2； ····················· （1分）

当圆B与圆C内切时，?m?1?BC?BC，得m?2； ········ （1分） 当圆B与圆C内含时，BC??m?1?BC，得m?2．

（1分）

2007年上海市初中毕业生统一学业考试

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2），（3）小题满分各5分）

o已知：∠MAN?60，点B在射线AM上，AB?4（如图10）．P为直线AN上一动点，

以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心． （1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上； （2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP?x，

ACgAO?y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）若点D在射线AN上，AD?2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．

A A P P

B OBO

M Q N M Q

N

图10

备用图

25．（1）证明：如图4，连结OB，OP，

QO是等边三角形BPQ的外心，?OB?OP， ················圆心角?BOP?360o?120o3． 当OB不垂直于AM时，作OH?AM，OT?AN，垂足分别为H，T． 由?HOT??A??AHO??ATO?360o，且?A?60o，

?AHO??ATO?90o，??HOT?120o．

??BOH??POT． ···························?Rt△BOH≌Rt△POT． ························?OH?OT．?点O在?MAN的平分线上． ················当OB?AM时，?APO?360o??A??BOP??OBA?90o． 即OP?AN，?点O在?MAN的平分线上．

综上所述，当点P在射线AN上运动时，点O在?MAN的平分线上．

A A HPT CP B OB O QM

NQ

M

N

图4

图5

（2）解：如图5，

QAO平分?MAN，且?MAN?60o，

??BAO??PAO?30o． ·························由（1）知，OB?OP，?BOP?120o，

分分分分分 1

1 1 1

1

??CBO?30o，??CBO??PAC．

Q?BCO??PCA，??AOB??APC． ·················· 1分 ?△ABO∽△ACP． ABAO．?ACgAO?ABgAP．?y?4x． ·············· 1分 ??ACAP定义域为：x?0． ···························· 1分

（3）解：①如图6，当BP与圆I相切时，AO?23； ············ 2分 ②如图7，当BP与圆I相切时，AO?43； ················ 1分 3③如图8，当BQ与圆I相切时，AO?0． ·················· 2分

(D) I P A P(A) P Q I D B O Q 图6

B O (A) O D I Q

M

N

M

图7

N

B M

N 图8

2008年上海市中考数学试卷

25．（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）

已知AB?2，AD?4，?DAB?90，AD∥BC（如图13）．E是射线BC上的动点（点，M是线段DE的中点． E与点B不重合）

（1）设BE?x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；

o