2018年山东省东营市东营区胜利一中中考数学一模试卷及答案(解析版)

∴P（抽取的两人恰好是甲和乙）=

=．

21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若PD=

，求⊙O的直径．

【分析】（1）连结OA、AD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD=90°，∠ADC=∠B=60°，则∠ACD=30°，再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°，接着根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠OAP=90°，于是根据切线的判定定理可判断AP与⊙O相切；

（2）连接AD，证得△AOD是等边三角形，得到∠OAD=60°，求得AD=PD=得到OD=

，即可得到结论．

，

【解答】解：（1）证明：连接OA，

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°， 又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°， 又∵AP=AC， ∴∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切线． （2）在Rt△OAP中， ∵∠P=30°， ∴PO=2OA=OD+PD， 又∵OA=OD， ∴PD=OA， ∵PD=

，

．

．

∴2OA=2PD=2

∴⊙O的直径为2

22．（9分）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2． （1）求k的值；

（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于|k|，从而求出k的值；

（2）先将y=2x与y=联立成方程组，求出A、B两点的坐标，然后分三种情况讨论：①当AD⊥AB时，求出直线AD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；②当BD⊥AB时，求出直线BD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；③当

AD⊥BD时，由O为线段AB的中点，可得OD=AB=OA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D点的坐标．

【解答】解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点， ∴A、B两点关于原点对称， ∴OA=OB，

∴△BOC的面积=△AOC的面积=2÷2=1，

又∵A是反比例函数y=图象上的点，且AC⊥x轴于点C， ∴△AOC的面积=|k|， ∴|k|=1， ∵k＞0， ∴k=2．

故这个反比例函数的解析式为y=；

（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形． 将y=2x与y=联立成方程组得：

，

解得：，，

∴A（1，2），B（﹣1，﹣2）， ①当AD⊥AB时，如图1，

设直线AD的关系式为y=﹣x+b，

将A（1，2）代入上式得：b=， ∴直线AD的关系式为y=﹣x+， 令y=0得：x=5， ∴D（5，0）；

②当BD⊥AB时，如图2，

设直线BD的关系式为y=﹣x+b， 将B（﹣1，﹣2）代入上式得：b=﹣， ∴直线BD的关系式为y=﹣x﹣， 令y=0得：x=﹣5， ∴D（﹣5，0）；

③当AD⊥BD时，如图3，

∵O为线段AB的中点， ∴OD=AB=OA， ∵A（1，2）， ∴OC=1，AC=2， 由勾股定理得：OA=

=

，