高2020届文科数学一轮复习课件金太阳新考案第六单元三角函数与解三角形§6.1三角函数的概念同角三角函数关

§6.1 三角函数的概念、同角三角函数关系

及诱导公式

一 角的概念

1.任意角:(1)定义:角可以看成平面内的 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 .(2)分类:角按旋转方向分为 、 和 .

2.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S={β|β=k·360° +α,k∈Z}.

3.象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.

二 弧度制

1.角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1° = rad,1 rad= ° .

2.扇形的弧长公式:l=|α|r.扇形的面积公式:S= lr= |α|r2.

三 任意角的三角函数

任意角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时,sin α= ,cos α= ,tan α= (x≠0).

四 同角三角函数的基本关系

1.平方关系: . 2.商数关系: .

五 诱导公式

组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 记忆 规律 一 2kπ+α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 π+α 三 四 π－α 五 六 －α －sin α －sin α sin α tan α －tan α －tan α －α +α －cos α cos α －cos α 函数名不变符号看象限 奇变偶不变,符号看象限 函数名改变 符号看象限 在线反馈 一、1.(1)一条射线 图形 (2)正角 负角 零角 三、y x 四、1.sin2α+cos2α=1 2. =tan α 五、cos α cos α sin α －sin α

1 已知点P(sin α,cos α)在第二象限,则角α的终边在( ).

A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限

＜

所以角α的终边在第四象限,故选D.

＞

【试题解析】由题意得 【参考答案】D

2 已知α∈ － － ,且sin α=－,则cos α等于( ).

A.－

B.

C.－ D.

【试题解析】 = － = － － =,∵α∈ － － ,∴cos α＜0,∴cos α=－,故选C.

【参考答案】C

3 已知tan(2019π+α)=,则

－

等于( ).

A.－2 B.

C.－

D.－

－ －

【试题解析】因为tan(2019π+α)=tan α=,所以【参考答案】D

==－ ,故选D.

4 已知在半径为120 mm的圆上,有一段弧长是144 mm,则该弧所对的圆心角的弧度数为 rad.

【试题解析】由题意知,α==

=1.2 rad.

【参考答案】1.2

题型一 任意角的三角函数

【例1】已知角α的终边经过点P(x,－ )(x≠0),且cos α= x,则 sin α+ = .

【试题解析】∵P(x,－ )(x≠0),

∴点P到原点的距离r= .

又cos α=x,∴cos α=

= x.

∵x≠0,∴x=± ,∴r= .

当x= 时, sin α+－ = ×+=－; － － － － = ×+=－. － 当x=－ 时, sin α+【参考答案】－ 先判定点P所在的象限,再确定r,最后根据定义求解. 【追踪训练1】(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P － ,则sin α·tan α=( ). A.－ B.±

C.－ D.±

(2)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0,则角θ的终边一定落在( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【试题解析】(1)由|OP|2=+y2=1(O为坐标原点), 得y2=,y=±.

当y=时,sin α=,tan α=－ ,

此时,sin α·tan α=－.

当y=－时,sin α=－,tan α= , 此时,sin α·tan α=－. 综上,sin α·tan α=－.

(2)由sin θ＜0知θ的终边在第三、四象限或y轴负半轴上.由tan θ＜0知θ的终边在第二、四象限.故选D.

【参考答案】(1)C (2)D

题型二 扇形的弧长、面积公式的应用

【例2】已知一扇形的圆心角为α(α＞0),所在圆的半径为R.

(1)若α=,R=10,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积. (2)若扇形的周长为4,则当α为多少弧度时,该扇形的面积最大? 【试题解析】(1)设弧长为l,弓形面积为S弓, 则l=×10=

,

×10－×102×sin

S弓=S扇－S△= ×= －=50 － .

, (2)扇形的周长为2R+l=2R+αR=4,∴R=∴S扇= αR2= α· = =

≤1.

当且仅当α=,即α=2时,扇形面积取得最大值1.

理清扇形的弧长与半径、弧度角的关系,熟记扇形面积和周长的公式. 【追踪训练2】一扇形的周长为20,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大? 【试题解析】设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=20,即l=20－2r(0＜r＜10).

∴扇形的面积S= lr= (20－2r)r=－r2+10r=－(r－5)2+25. ∴当r=5时,S取得最大值25,

此时l=10,α==2 rad.

∴当α=2 rad时,扇形的面积取得最大值.

题型三 同角三角函数基本关系式的应用

【例3】在△ABC中,sin A+cos A= .

(1)求sin Acos A的值; (2)求tan A的值.

【试题解析】(1)∵sin A+cos A=, ①

∴两边平方得1+2sin Acos A= , ∴sin Acos A=－ .

(2)由(1)得sin Acos A=－＜0, 又0＜A＜π,∴cos A＜0.