最优化方法模拟试题二

《最优化方法》模拟试题二

一、填空题：

1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中

___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D可以表示

为_____________________________，若______________________________，

称x*为问题的局部最优解，若_____________________________________，称

x*为问题的全局最优解。

2．设f(x)= x12?2x1x2?10x1?5x2，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令x?(1,0)T,d?(1,?1)T,则f(x)在x处沿方向d的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶

方向导数为___________________，几何意义为_________________________

___________________________________。

3．设严格凸二次规划形式为：

2minf(x)?x12?x2?2x1?x2s.t.x1?x2?1x1?0x2?0

则其对偶规划为___________________________________________。

4．求解无约束最优化问题：minf(x),x?Rn，设xk是不满足最优性条件的第k步迭代点，则：

用最速下降法求解时，搜索方向dk=___________ 用Newton法求解时，搜索方向dk=___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向dk=_______________

____________________________________________________________。 二．（10分）简答题：试叙述求解无约束优化问题的优化方法及其优缺点。（200字左右） 三．（25分）计算题

1． （10分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：

3minf(x)?2x1?3x12?6x1x2(x1?x2?1).

2． （15分）用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求解约束

问题：

mins.t.其中p?1,a?0.

f(x)??xipi?1nc(x)??xi?a?0i?1n

四． 证明题（共33分） 1．（10分）

1设f(x)?xTGx?rTx??是正定二次函数，证明一维问题

2min?(a)?f(xk?adk)

的最优步长为ak???f(xk)TdkdGdkTk.

2．（23分）考虑如下规划问题

min

s.t.f(x),x?Rn

ci(x)?0,i?1,2,?,m.其中f(x),ci(x)(i?1,?,n)是凸函数，证明： （1） （7分）上述规划为凸规划；

（2） （8分）上述规划的最优解集R*为凸集；

（3） （8分）设f(x),ci(x)(i?1,2,?,n)有连续的一阶偏导数，若x*是KT点，

则x*是上述凸规划问题的全局解。