安徽省六安市毛坦厂中学2020届高三数学3月联考试题 文(含解析)

（2）若，证明：方程）

有且仅有3个不同的实数根.（附：，，

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】

（1）先对函数求导，分类讨论（2）将

代入函数解析式，得到

和

两种情况，即可得出结果；

，根据(1)中结果，得到函数单调性，求出

函数极值，即可得出结果. 【详解】解：（1）由得令所以所以当即所以当令所以所以当即当即当即综上，当当

时，，所以时，，所以

时，，所以

，时，

，

，

时，恒成立， 单调递增； 时，

，此时方程

有两个不相等的根，，不妨设

，

，

，，

，

恒成立，

，

，

单调递增； ， 单调递减；

， 单调递增. 时，

在上单调递增；

，

；

的单调递减区间

的单调递增区间为

为.

（2）当时，

在

，

上单调递增，在

上单调递减，在

由（1）知，函数上单调递增，

所以当时，函数有极大值，且

，

当时，函数有极小值，

且 .

又因为所以直线所以当

，与函数时，方程

的图象在区间

，

上有且仅有3个交点，

有且仅有3个不同的实数根.

【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，由导数的方法研究函数的单调性和极值等，属于常考题型.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.在平面直角坐标系

中，圆的参数方程为

（为参数），过点

作

斜率为的直线与圆交于，两点. （1）若圆心到直线的距离为（2）求线段【答案】（1）【解析】 【分析】

，求的值；

中点的轨迹方程.

；（2）

.

（1）先由圆的参数方程消去参数得到圆的普通方程，由题意设直线的方程，再根据点到直线的距离公式即可求出结果； （2）由题意，设直线的参数方程为

结合韦达定理写出点E坐标，进而可求出结果. 【详解】解：（1）由题知，圆的普通方程为即圆的圆心为依题可设过点设圆心则解得

.

（为参数），

，代入圆：

，

，半径

.

，即

，

，

（为参数），

代入圆的方程，

的直线的方程为

到直线的距离为，

，

（2）设直线的参数方程为得

.

设，，对应的参数分别为，，，则所以

又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程为化为普通方程为

.

，

. ，

，即

，

，

【点睛】本题主要考查参数方程，熟记参数方程与普通方程的互化即可求解，属于常考题型. 23.已知函数

.

的图象；

（1）在平面直角坐标系中作出函数

（2）若当时，不等式恒成立，求的最大值.

【答案】（1）详见解析；（2）-6. 【解析】 【分析】 (1)将函数(2) 当

写出分段函数的形式，在坐标系内作出每段的图像即可； 时，由(1)可求出数

的图象与轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线

恒成立，可求出

的范围，进而可

的斜率的最小值为-3，再由不等式求出结果. 【详解】解：（1）

，

其图象如下图：

（2）若，由（1）知函数的图象与轴的交点的纵坐标为3，

各部分所在直线的斜率的最小值为-3， 故当且仅当所以故

且，所以

的最大值为-6.

时

，

时，不等式

恒成立，

【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，通常需要分情况去绝对值求解，属于常考题型.