人教A版高中数学必修五等差数列前n项和教案一

2.3等差数列的前n项和（一）

一、教学目标

1、等差数列前n项和公式．

2、等差数列前n项和公式及其获取思路；

3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．三、教学过程（一）、复习引入：

1．等差数列的定义： an－an?1=d ，（n≥2，n∈N）2．等差数列的通项公式：

?（1）an?a1?(n?1)d （2）an?am?(n?m)d （3） an=pn+q (p、q是常数)3．几种计算公差d的方法：① d?an－an?1 ② d?an?a1 ③ d?an?amn?1n?m4．等差中项：A?a?b?a,b,成等差数列25．等差数列的性质： m+n=p+q ?am?an?ap?aq (m, n, p, q ∈N )

6．数列的前n项和：数列?an?中，a1?a2?a3???an称为数列?an?的前n项和，记为Sn.

“小故事”1、2、3

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050”这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．

二、讲解新课：

1．等差数列的前n项和公式1：Sn?n(a1?an) 2证明： Sn?a1?a2?a3???an?1?an ① Sn?an?an?1?an?2???a2?a1 ②

①+②：2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)???(an?an)

∵a1?an?a2?an?1?a3?an?2??? ∴2Sn?n(a1?an) 由此得：Sn?n(a1?an)． 2 2． 等差数列的前n项和公式2：Sn?na1?n(n?1)d ． 2 用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an． 但an?a1?(n?1)d 代入公式1即得： Sn?na1? 此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d

总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个． 公式二又可化成式子： Sn?n(n?1)d 2d2dn?(a1?)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式． 22三、例题讲解

例1、(1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d ;

(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：(1) 172?8(4?a8)?a8?39 39?4?(8?1)d?d?5 2(2)设题中的等差数列为?an?，前n项为Sn 则 a1??10,d?(?6)?(?10)?4,Sn?54 由公式可得?10n?n(n?1)?4?54 . 解之得：n1?9,n2??3（舍去） 2∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54． 例2、教材P43面的例1

解：

例3．求集合M??m|m?7n,n?N*且m?100?的元素个数，并求这些元素的和．

1002?14 77 ∴正整数n共有14个即M中共有14个元素

解：由7n?100得 n? 即：7，14，21，…，98 是a1?7为首项a14?98等差数列．

14?(7?98)?735 答：略．

2例4、等差数列?an?的前n项和为Sn，若S12?84,S20?460，求S28.

（学生练?学生板书?教师点评及规范）

练习：⑴在等差数列?an?中，已知a3?a99?200，求S101.

∴ Sn?⑵在等差数列?an?中，已知a15?a12?a9?a6?20，求S20.

例4．已知等差数列{an}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n. 解：依题意，得??a1?a2?a3?a4?21,

?an?an?1?an?2?an?3?67, 两式相加得(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)?(a4?an?3)?88, 又a1?an?a2?an?1?a3?an?2?a4?an?3,所以a1?an?22 又Sn?n(a1?an)?286，所以n=26． 2例5．已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数

列的前n项的和吗？.

思考：（1）等差数列中S10,S20?S10,S30?S20，成等差数列吗？

（2）等差数列前m项和为Sm,则Sm、S2m?Sm.、S3m?S2m是等差数列吗？

练习：教材第118页练习第1、3题． 三、课堂小结：

1.等差数列的前n项和公式1：Sn?n(a1?an) ； 22.等差数列的前n项和公式2：Sn?na1?四、课外作业：

1.阅读教材第42～44页； 2.《习案》作业十三．

n(n?1)d． 2