2018版考前三个月高考数学理科（全国通用）总复习文档：压轴小题突破练5 Word版含解析

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x1－?2＋，x1∈[－2，2]. ＝?3?34?

→→所以当x＝－2时，MA·BA有最大值9， 42→→当x＝时，MA·BA有最小值，故选C.

33

x2y2

10.设双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线

ab→→→

于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若OP＝λOA＋μOB(λ，1

μ∈R)，λμ＝，则该双曲线的离心率为( )

83223A. B.2 C. D.2

23答案 D

bc?bc?b2?b???解析 双曲线的渐近线为y＝±x，焦点F(c，0)，则A?c，a?，B?c，－a?，P?c，a?，因为

ab2??bcb→→→?OP＝λOA＋μOB，所以?c，a?＝??λ＋μ?c，?λ－μ?a?，所以λ＋μ＝1，λ－μ＝， ?cc＋bc－bc2－b211

解得λ＝，μ＝，又由λμ＝，得＝，

2c2c84c28a21

解得2＝，

c2所以e＝2，故选D.

x2y2→→

11.若点O，F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则OP·FP的最

43大值为______________. 答案 6

x2y2→→22

解析 设P(x，y)，则OP·FP＝(x，y)·(x＋1，y)＝x＋x＋y，又点P在椭圆上，故＋＝1，

433111

所以x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，又－2≤x≤2，所以当x＝2时，(x＋2)2＋2

4444→→

取得最大值为6，即OP·FP的最大值为6.

12.(2017·江西抚州市七校联考) 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋→→b2－c2＝3ab，且acsin B＝23sin C，则CA·CB＝________. 答案 3

解析 由a2＋b2－c2＝3ab，得2cos C＝3，即cos C＝3→→＝23c，即ab＝23，CA·CB＝abcos C＝23×＝3.

2

3

，由acsin B＝23sin C，得abc2

5

x2y2

13.(2017届河南开封月考)过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c，0)(c＞0)，作圆x2

aba2→→→

＋y＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OP＝2OE－OF，则双曲线的

2

4

离心率为________.

答案

102

解析 由OP→＝2OE→－OF→

，得

OE→＝12(OF→＋OP→

)可知，E为PF的中点，令右焦点为F′，

则O为FF′的中点，PF′＝2OE＝a， ∵E为切点，

∴OE⊥PF，PF′⊥PF，|PF|－|PF′|＝2a，|PF|＝3a，|PF|2＋|PF′|2＝|FF′|2， 则10a2＝4c2，e＝

102

. 14.(2017·北京市丰台区二模)已知O为△ABC的外心，且BO→＝λBA→＋μBC→

. ①若∠C＝90°，则λ＋μ＝______________；

②若∠ABC＝60°，则λ＋μ的最大值为______________. 答案 122 3

解析 ①若∠C＝90°，则O为AB边的中点， BO→＝12BA→

，即λ＝112，μ＝0，故填2.

②设△ABC的三边长分别为a，b，c，因为O为△ABC的外心，且BO→＝λBA→＋μBC→

，?→12所以??

BO·BA→＝λBA→2＋μBA→·BC→，2c＝λc2＋1

2

μac，??BO→·

BC→＝λBA→·BC→＋μBC→2，

即?

??12

1

2a＝2λac＋μa2

，

11

2a

化简得?λc＋?2μa＝2c，

?12λc＋μa＝1

2

a，

解得?λ＝?3－3c，?μ＝2c

3－3a，

则λ＋μ＝4

a3－??3c＋c3a??≤43－23＝23

，当且仅当△ABC为等边三角形时“＝”成立. 6