2018版考前三个月高考数学理科（全国通用）总复习文档：压轴小题突破练5 Word版含解析

5.与向量有关的压轴小题

→→→→→

1.(2017届山西临汾一中等五校联考)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，则AC·AD的值为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C

→→→→解析 方法一 AD·AC＝|AD|·|AC|cos∠CAD， →

∵|AD|＝1，

→→→∴AD·AC＝|AC|cos∠CAD， π

∵∠BAC＝＋∠DAC，

2

→→→

∴cos∠CAD＝sin∠BAC，AD·AC＝|AC|sin∠BAC， 在△ABC中，由正弦定理得

ACBC

＝，变形得ACsin∠BAC＝BCsin B， sin Bsin∠BAC

AD→→→

∴AD·AC＝|AC|sin∠BAC＝BC·＝3，故选C.

BD

→→→→→→→→→→→→→→→→

方法二 AD·AC＝AD·(BC－BA)＝AD·BC－AD·BA＝AD·3BD＝3AD·(BA＋AD)＝3AD·BA＋→→3AD·AD＝3.

2.(2017届河南省豫北名校联盟精英对抗赛)已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为点O，且→→→→→3OA＋4OB＋5OC＝0，则OC·AB的值为( ) 8714A. B. C.－ D. 5555答案 C

→→→

解析 ∵3OA＋4OB＋5OC＝0， →→→∴4OB＋5OC＝－3OA，

→→→→→∴16OB2＋40OB·OC＋25OC2＝9OA2， →→→

又∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，

1

43→→→→

∴OB·OC＝－，同理可求OA·OC＝－，

55341→→→→→

－?＝－. ∴OC·AB＝OC·(OB－OA)＝－－?5?5?5故选C.

→→

3.(2017·浙江温州中学月考)在△ABC中，已知AB·AC＝9，sin B＝cos A·sin C，S△ABC＝6，P→→

CACB→

为线段AB上的点，且CP＝x·＋y·，则xy的最大值为( )

→→CACB

||||

A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C

解析 由题设sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A， 即sin Acos C＝0，也即cos C＝0， ∴C＝90°，

又∵bccos A＝9，故b2＝9，即b＝3. 1

∵ab＝6，故a＝4，c＝5， 2

故建立如图所示直角坐标系xOy，则A(3，0)，B(0，4)，则由题设可知P(x，y)，

xy

直线AB的方程为＋＝1且x＞0，y＞0，

34xy

∴＋＝1≥234

xy3

，即xy≤3，当且仅当x＝，y＝2时“＝”成立，故选C. 122

→→→

4.(2017·运城期中)已知点O是△ABC内部一点，且满足2OA＋3OB＋4OC＝0，则△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为( ) A.4∶2∶3 B.2∶3∶4 C.4∶3∶2 D.3∶4∶5 答案 A

解析 如图所示，延长OA，OB，OC，使OD＝2OA，OE＝3OB，OF＝4OC，

→→→

∵2OA＋3OB＋4OC＝0，

2

→→→

∴OD＋OE＋OF＝0，

即O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，

111

不妨令它们的面积均为1，则△AOB的面积为，△BOC的面积为，△AOC的面积为，故6128111

△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为∶∶＝4∶2∶3.

6128故选A.

5.若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为( ) A.2－1 B.1 C.2＋1 D.2 答案 A

解析 ∵a·b＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1， ∴|a＋b|＝2，

又∵(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝2cos〈a＋b，c〉，

∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c＝3－22cos〈a＋b，c〉， ∴当cos〈(a＋b，c)〉＝1时，

2|a＋b－c|min＝3－22＝(2－1)2，

∴|a＋b－c|的最小值为2－1.

3

cos 2x，－?，f(x)＝(m－n)·6.已知向量m＝(sin 2x，1)，n＝?m，则函数f(x)的最小正周期与2??最大值分别为( ) A.π，3＋答案 B

5

sin 2x－cos 2x，?， 解析 ∵m－n＝?2??

515

则f(x)＝(m－n)·m＝sin 2x(sin 2x－cos 2x)＋＝sin22x－sin 4x＋

222π12

4x＋?＋3， ＝－(cos 4x＋sin 4x)＋3＝－sin?4??22

2ππ2

∴f(x)的最小正周期T＝＝，最大值为3＋，故选B.

422

→3→2→

7.(2017·湖北部分重点中学联考)已知P是△ABC所在平面内一点，若AP＝BC－BA，则

43△PBC与△ABC的面积的比为( ) 1123

A. B. C. D. 3234答案 A

2π27π

B.，3＋ C.π， D.，3 22222

3

22→→

解析 在线段AB上取D使AD＝AB，则AD＝－BA，过A作直线l使l∥BC，在l上取点

33→3→

E使AE＝BC，过D作l的平行线，过E作AB的平行线，设交点为P，则由平行四边形法

4→3→2→

则可得AP＝BC－BA，

43

设△PBC的高为h，△ABC的高为k，由三角形相似可得h∶k＝1∶3， ∵△PBC与△ABC有公共的底边BC， 1

∴△PBC与△ABC的面积的比为，故选A.

3

8.(2017届福建福州外国语学校期中)已知向量a，b满足|a|＝22|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋7在实数集R上单调递增，则向量a，b的夹角的取值范围是( ) πππππ0，? B.?0，? C.?0，? D.?，? A.??6??3??4??64?答案 C

解析 求导可得f′(x)＝6x2＋6|a|x＋6a·b，则由函数f(x)＝2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋7在实数集R上单调递增，可得f′(x)＝6x2＋6|a|x＋6a·b≥0恒成立，即x2＋|a|x＋a·b≥0恒成立， 故判别式Δ＝a2－4a·b≤0恒成立，再由|a|＝22|b|≠0，可得8|b|2≤82|b|2cos〈a，b〉， ∴cos〈a，b〉≥

2

， 2

又∵〈a，b〉∈[0，π]， π0，?. ∴〈a，b〉∈??4?

x22→→

9.(2017·湖南长沙长郡中学)已知点M(1，0)，A，B是椭圆＋y＝1上的动点，且MA·MB＝0，

4→→则MA·BA的取值范围是( )

2?26

，1 B.[1，9] C.?，9? D.?，3? A.??3??3??3?答案 C

→→→

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则MA＝(x1－1，y1)，MB＝(x2－1，y2)，BA＝(x1－x2，y1－y2)，→→

由题意有MA·MB＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， →→所以MA·BA＝(x1－1)(x1－x2)＋y1(y1－y2)

2＝(x1－1)x1－(x1－1)x2＋y1－y1y2

22＝x1－x1＋y1－[(x1－1)(x2－1)＋y1y2＋(x1－1)]

12322＝x1－x1＋1－x1－x1＋1＝x1－2x1＋2

44

4