江苏省南通市2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析

（1）证明：AB'?A'M；

（2）求二面角A'?MB'?A的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）【解析】 【分析】

（1）根据AA'?平面ABC，四边形ACC'A'是矩形，由M为CC'中点，且AA'?CC'?2. 36，利用平

面几何知识，可得A'M?AC'，又B'C'?平面ACC'A'，所以B'C'?A'M，根据线面垂直的判定定理可有A'M?平面AB'C'，从而得证.

（2）分别以CA，CB，CC'为x，y，z轴建立空间直角坐标系，得到A'??6?0,0,3,0,6，M????，2???r??6?6?uuuB'??3,0,?2??，分别求得平MA'B'和平面MAB'的法向量，代入二面角向量公式?0,1,2??，MA??????uruurn1?n2uruurr求解. cos??|cos?n1,n2?|?uruu|n1|?|n2|【详解】

（1）证明：∵AA'?平面ABC， ∴四边形ACC'A'是矩形， ∵M为CC'中点，且AA'?CC'?6，

∴C'M?6， 2∵BC?1，?BAC?30?，?ACB?90?， ∴AC?A'C'?3.∴

C'MA'C'?， A'C'AA'∵?MC'A'??C'A'A，∴?MC'A'与?C'A'A相似， ∴?C'A'M??A'AC'，∴?A'AC'??AA'M?90?， ∴A'M?AC'，

∵?ACB?90?，∴BC⊥平面ACC'A'， ∴B'C'?平面ACC'A'，

∵A'M?平面ACC'A'，∴B'C'?A'M， ∴A'M?平面AB'C'，∴A'M（2）如图，

?AB'.

分别以CA，CB，CC'为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

r???6?6?uuu6?M0,0,MA?3,0,?B'0,1,A'3,0,6 则，?，?，??????????2?2?2????uruuuururuuuuruur设平面MA'B'的法向量为n1??x1,y1,z1?，则MA'?n1?0，MB'?n2?0，

??ur26解得：n1?(?,?,1)，

22同理，平面MAB'的法向量n2?(?uur26,,?1)， 22设二面角A'?MB'?A的大小为?，

uruurn1?n2uruurruur?则cos??|cos?n1,n2?|?u|n1|?|n2|2. 313??1|222?. 31313??1???12222|即二面角A'?MB'?A的余弦值为【点睛】

本题主要考查线线垂直、线面垂直的转化以及二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证、运算求解的能力，属于中档题.

x2220．已知椭圆C:?y2?1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l垂直于x轴，垂足为T，与抛物线y?4x交

2uuuruuuuruuuuruuuurmFA,BP,Q于不同的两点，且F过2的直线与椭圆C交于两点，设F2A??F2B,且1P?F2Q??5,????2,?1? .

（1）求点T的坐标；

uuruur（2）求TA?TB的取值范围.

?132?【答案】（1）T?2,0?；（2）?2,?.

8??【解析】 【分析】

uuuruuuur2P,Qy?4x上，求得P,Q两点的横坐标，（1）设出P,Q的坐标，代入F，结合在抛物线P?FQ??512进而求得T点的坐标.

uuruur2uuuruuurmm（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合F，求得TA?TB1A??F1Buuruur的表达式，结合二次函数的性质求得TA?TB的取值范围.

【详解】

,0?,F2?1,0?， （1）可知F1??1设P?x0,y0?,Q?x0,?y0?

uuuruuuur,y0???x0?1,?y0??x02?1?y02， 则F1P?F2Q??5??x0?1又y?4x，

2所以?5?x0?1?4x0

2解得x0?2, 所以T?2,0?.

（2）据题意，直线m的斜率必不为0,

所以设m:x?ty?1,将直线m方程代入椭圆C的方程中， 整理得t?2y?2ty?1?0， 设A?x1,y1?,B?x2,y2?, 则y1?y2???2?22t① t2?21② 2t?2uuuruuur 因为F1A??F1B,y1y2??所以y1??y2,且x?0,

y1y24t2??2??2 将①式平方除以②式得

y2y1t?24t2 所以???2??2?t?21????2,?1?,又解得0?t2?

uuruur4?t2?1? 又TA?TB??x1?x2?4,y1?y2?，x?x?4?t?y?y??2??12122t?2uuruur228822TA?TB?x?x?4?y?y?16???12??12?所以t2?2?t2?2?2

令n?271， t2?2?71?,? 162??则n??2uuruur27?17?169??2 所以TA?TB?8n?28n?16?8?n?????4,?4?2?32??uuruur?132?TA?TB??2,?

8??【点睛】

本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.

x2y221．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2?2?1?a?0,b?0?的短轴长为2，直线l与椭圆C相

ab交于A,B两点，线段AB的中点为M.当M与O连线的斜率为?（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若AB?2,P是以AB为直径的圆上的任意一点，求证：OP?3

1?时，直线l的倾斜角为 24x2【答案】（1）?y2?1；（2）详见解析.

2【解析】 【分析】

y1?y2b2x1?x2??2g（1）由短轴长可知b?1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由设而不求法作差即可求得，

x1?x2ay1?y2将相应值代入即求得a?2，椭圆方程可求；

（2）考虑特殊位置，即直线l与x轴垂直时候，OP?1?3成立，当直线l斜率存在时，设出直线l方程y?kx?m，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到m与k的关系，将|OM|表示出来，结

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