浙江专版高考数学一轮复习第五章平面向量与解三角形5.2平面向量的数量积及其应用学案

§5.2 平面向量的数量积及其应用

考纲解读

考点

考纲内容

要求

2013

浙江省五年高考统计 2014 2015 2016

2017

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

8,5分

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关13(文15(文

1.平面向量17,49(文)10,4

系. 掌握 ), ),

的数量积 分 , 分

3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向4分 4分

5分

量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角. 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何

15(文

2.向量的综问题. 15,415,6

掌握 7,5分 ),

合应用 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其分 分

4分

他一些实际问题.

分析解读 1.向量的数量积是高考命题的热点,主要有以下几个方面:(1)平面向量的运算、化简、证明及其几何意义.(2)平面向量垂直的充要条件及其应用.(3)平面向量的综合应用,向量的坐标是代数与几何联系的桥梁,它融数、形于一体,具有代数形式和几何形式的双重身份,是中学数学知识的重要交汇点,常与平面几何、解析几何、三角函数等内容交叉渗透.

2.预计2019年高考试题中,向量的数量积仍是高考的热点,应引起高度重视.

五年高考

考点一 平面向量的数量积

1.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=

·

,I2=

·

,I3=

·

,则( )

A.I1

B.I1

C.I3

D.I2

2.(2014浙江,8,5分)记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

2222

C.max{|a+b|,|a-b|}≤|a|+|b|

2222

D.max{|a+b|,|a-b|}≥|a|+|b| 答案 D

3.(2017北京理,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A

1 / 9

4.(2017课标全国Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则小值是( )

·(+)的最

A.-2 B.- C.- D.-1 答案 B

5.(2016课标全国Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 答案 D

6.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则A.- B. 答案 B

·

的值为( ) D.

C.

7.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( ) A.4 B.-4 C. 答案 B

D.-

8.(2015安徽,8,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足( ) A.|b|=1 答案 D

B.a⊥b C.a·b=1

D.(4a+b)⊥

=2a,=2a+b,则下列结论正确的是

9.(2015福建,9,5分)已知·

⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则

的最大值等于( )

A.13 B.15 C.19 D.21 答案 A

10.(2016浙江文,15,4分)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是 . 答案

11.(2017课标全国Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m= . 答案 2

12.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x+y=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则

2

2

·的最大值

为 . 答案 6

13.(2017课标全国Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= . 答案 2

14.(2017山东理,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是 .

2 / 9

答案

15.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且答案

=λ

,

=

,则

·

的最小值为 .

16.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.

(1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值.

解析 (1)因为m⊥n,所以m·n=sin x-cos x=0.

即sin x=cos x,又x∈,所以tan x=

=1.

(2)易求得|m|=1,|n|==1.

因为m与n的夹角为,

所以cos==.

则sin x-cos x=sin=.

又因为x∈,所以x-∈.

所以x-=,解得x=.

教师用书专用(17—33)

17.(2016北京,4,5分)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D

18.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则

·=( )

A.-a2

B.-a2

C.a2

D.a2

答案 D

19.(2014大纲全国,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( A.2 B. C.1 D.

答案 B

3 / 9

) 20.(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )

A. B. C. D.π 答案 A

21.(2014四川,7,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=( )

A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案 D

22.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若

·

=1,

·

=-,则λ+μ=( )

A. B. C. D. 答案 C

23.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 答案 A

24.(2013陕西,3,5分)设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C

25.(2013湖北,6,5分)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量 A. B.答案 A

C.- D.-

在

方向上的投影为( )

26.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,是 .

=3,·=2,则·的值

答案 22

27.(2014安徽,15,5分)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①S有5个不同的值 ②若a⊥b,则Smin与|a|无关 ③若a∥b,则Smin与|b|无关 ④若|b|>4|a|,则Smin>0 ⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|,则a与b的夹角为 答案 ②④

28.(2013江西,12,5分)设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的射影为 .

答案

222

29.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|=|a|+|b|,则m= . 答案 -2

4 / 9

2