高等数学答案 复旦第三版

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故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量

故过点（0，2，4）的直线方程为

（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s={2，-1，3}

故过点（-1，2，1）的直线方程为 .

50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系： （1） 和4x-2y-2z=3; （2） 和3x-2y+7z=8; （3） 和x+y+z=3.

解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s={-2，-7，3} 平面的法向量n={4，-2，-2}，所以

于是直线与平面平行.

又因为直线上的点M0（-3，-4，0）代入平面方程有 .故直线不在平面上.

(2) 因直线方向向量s等于平面的法向量，故直线垂直于平面. (3) 直线在平面上，因为 ,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线

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的平面方程.

解：直线的方向向量为 , 取平面法向量为{1，2，3}， 故所求平面方程为 即x+2y+3z=0.

52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x-3y+z=3, x+3y+2z+1=0的交线的平面方程.

解：设过两平面的交线的平面束方程为

其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3） 故 解得λ=-4. 故所求平面方程为 2x+15y+7z+7=0

53. 求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影.

解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即 s=n={1，2，-1}

所以垂线的参数方程为

将其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0 得

于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点 54. 求点（3，-1，2）到直线 的距离.

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解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量 即

故过已知点的平面方程为y+z=1. 联立方程组 解得

即 为平面与直线的垂足 于是点到直线的距离为

55. 求点（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距离.

解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=n={1，2，2}

所以垂线的参数方程为 将其代入平面方程得 .

故垂足为 ，且与点（1，2，1）的距离为 即为点到平面的距离.

56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为

设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14 即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.

57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程. 解：设该动点为M(x,y,z)，由题意知

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化简得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0 即为动点的轨迹方程.

58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形： （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） ;

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