高等数学答案 复旦第三版

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化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.

41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) y =0; (2) 3x-1=0; (3) 2x-3y-6=0; (4) x – y =0; (5) 2x-3y+4z=0.

解：(1) y =0表示xOz坐标面（如图7-2） (2) 3x-1=0表示垂直于x轴的平面.(如图7-3)

图7-2 图7-3

(3) 2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4)

(4) x –y=0表示过z轴的平面（如图7-5） (5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.

图7-4 图7-5 图7-6

42. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.

解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0 则其法向量为n={A,B,C} 已知平面法向量为n1={1,1,-1} 过已知两点的向量l={1,1,1}

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由题知n?n1=0, n?l=0 即

所求平面方程变为Ax-Ay+D=0

又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0 故平面方程为x-y=0.

43. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：

（1）经过点（5，-4，6）； （2） 与平面2x-3y+z=0成 的角.

解：（1） 因平面过点（5，-4，6） 故有 5-4k-2×6=9 得k=-4.

（2） 两平面的法向量分别为 n1={1,k,-2} n2={2,-3,1} 且 解得

44. 确定下列方程中的l和m:

(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行; (2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直. 解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}

(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}

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45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.

解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0 其法向量n={A,B,C} n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}

又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0 故所求平面方程为

即2x-y-3z=0

46. 求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量. 解：n1={3,-1,7}, n2={1,-1,2}. 故 则

47. 求下列直线与平面的交点： (1) , 2x+3y+z-1=0; (2) , x+2y-2z+6=0. 解：（1）直线参数方程为 代入平面方程得t=1 故交点为（2，-3，6）. （2） 直线参数方程为

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代入平面方程解得t=0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角： （1） 和 ； （2） 和

解：（1）两直线的方向向量分别为： s1={5, -3,3}×{3, -2,1}= ={3,4, -1} s2={2,2, -1}×{3,8,1}= ={10, -5,10}

由s1?s2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s1⊥s2 从而两直线垂直，夹角为 .

(2) 直线 的方向向量为s1={4, -12,3},直线 的方程可变为 ,可求得其方向向量s2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是

49. 求满足下列各组条件的直线方程：

（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x-y+2z-4=0垂直； （2）过点（0，2，4），且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行； （3）过点（-1，2，1），且与直线 平行. 解：（1）可取直线的方向向量为 s={3，-1，2}

故过点（2，-3，4）的直线方程为

（2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n1与n2不平行，

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