江苏省苏州市2019届高三上学期期末考试数学(含答案)

2019届高三模拟考试试卷(苏州) 数学参考答案及评分标准

1. {3} 2. －1 3. 25 4. 11.

512

5. 6. 3 7. 10 8. 9. 23 10. (x－5)2＋(y－2)2＝17 3633

1

12. (－2，2－23) 13. 82－8 14. [0，1] 18

15. 证明：(1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC. 因为AB?平面ABC，所以BB1⊥AB.(2分)

因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面B1BCC1， 所以AB⊥平面B1BCC1.(4分)

又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(6分)

(2) 取AB中点G，连结EG，FG. 因为E，F分别是A1C1，BC的中点， 1

所以FG∥AC，且FG＝AC.(8分)

2因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1， 所以FG∥EC1，且FG＝EC1，

所以四边形FGEC1为平行四边形，(11分) 所以C1F∥EG.

因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE， 所以C1F∥平面ABE.(14分)

16. 解：(1) 在△ABC中，因为2bcos A＝2c－3a， abc

由正弦定理＝＝，

sin Asin Bsin C所以2sin Bcos A＝2sinC－3sin A.(2分) 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)，

所以2sin Bcos A＝2sin(A＋B)－3sin A，

即2sin Bcos A＝2sin Acos B＋2cos AsinB－3sin A， 所以3sin A＝2cos Bsin A，(4分) 在△ABC中，sin A≠0，所以cos B＝π

又B∈(0，π)，所以B＝.(6分)

6(2) f(x)＝cos x·(sin x·cos

ππ3

＋cos x·sin )－(8分) 334

3

. 2

133＝sin x·cos x＋cos2x－ 224

π1331

＝sin 2x＋(cos 2x＋1)－＝sin(2x＋)，(10分) 44423π1

所以f(A)＝sin(2A＋).

23

π5π

在△ABC中，B＝，且A＋B＋C＝π，所以A∈(0，)，(12分)

66

πππππ1

所以2A＋∈(，2π)，所以当2A＋＝，即A＝时，f(A)的最大值为.(14分)

3332122x2y2

17. 解：(1) 设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，半焦距为c，

ab1c1

因为椭圆的离心率为，所以＝，即a＝2c.

2a2

a2

因为A到右准线的距离为6，所以a＋＝3a＝6，(2分)

c解得a＝2，c＝1，(4分)

x2y2

所以b＝a－c＝3，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.(6分)

43

2

2

2

3

(2) 直线AB的方程为y＝(x＋2)，

2

?y＝2（x＋2），由?得x＋3x＋2＝0，解得x＝－2或x＝－1，

xy

?4＋3＝1，

2

2

2

3

3

则点B的坐标为(－1，).(9分)

2

3

由题意，得右焦点F(1，0)，所以直线BF的方程为y＝－(x－1).(11分)

43

y＝－（x－1），

413

由22得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝，(13分)

7xy

＋＝1，43

???

139

所以点M坐标为(，－).(14分)

714

18. 解：(1) 以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系， π11

因为0<θ<，tan θ＝，所以OP：y＝x.

222

设P(2t，t)，由OP＝5，得t＝1，所以P(2，1).(2分)

(解法1)由题意得2m·PA＝m·PB，所以BP＝2PA，所以点B的纵坐标为3. 因为点B在直线y＝x上，所以B(3，3)，(4分) 335所以AB＝PB＝. 22

→→

(解法2)由题意得2m·PA＝m·PB，所以BP＝2PA.

设A(a，0)(a>0)，又点B在射线y＝x(x>0)上，所以可设B(b，b)(b>0)，

???a＝，?2－b＝2（a－2），→→

由BP＝2PA，得?所以?2(4分)

??1－b＝－2，?

?b＝3，

3

所以A(，0)，B(3，3)，AB＝

2答：点A，B之间的距离为

335（3－）2＋32＝. 22

3

35

千米.(6分) 2

(2) (解法1)设总造价为S，则S＝n·OA＋22n·OB＝(OA＋22OB)·n， 设y＝OA＋22OB，要使S最小，只要y最小.

当AB⊥x轴时，A(2，0)，这时OA＝2，OB＝22， 所以y＝OA＋22OB＝2＋8＝10.(8分)

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0). 11

令y＝0，得点A的横坐标为2－，所以OA＝2－；

kk令x＝y，得点B的横坐标为

2k－1

.(10分) k－1

2k－11

因为2－>0，且>0，所以k<0或k>1，

kk－114（2k－1）

此时y＝OA＋22OB＝2－＋，

kk－1－4－（k＋1）（3k－1）1

y′＝2＋＝.(12分)

k（k－1）2k2（k－1）2当k<0时，y在(－∞，－1)上递减，在(－1，0)上递增， 33

所以ymin＝y|k＝－1＝9<10，此时A(3，0)，B(，)；(14分)

22

3k＋118（k－1）＋441

当k>1时，y＝2－＋＝10＋－＝10＋>10. kk－1k－1kk（k－1）

32

综上，要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点千米

2处.(16分)

(解法2)如图，作PM∥OA交OB于点M，交y轴于点Q，作PN∥OB交OA于点N，因为P(2，1)，所以OQ＝1.

因为∠BOQ＝45°，所以QM＝1，OM＝2， 所以PM＝1，PN＝OM＝2.

2PA1PB

由PM∥OA，PN∥OB，得＝，＝，(8分)

OBABOAAB21PAPB

所以＋＝＋＝1.(10分)

OBOAABAB

设总造价为S，则S＝n·OA＋22n·OB＝(OA＋22OB)·n， 设y＝OA＋22OB，要使S最小，只要y最小.

21OA2OB

y＝OA＋22OB＝(OA＋22OB)(＋)＝5＋2(＋)≥9，(14分)

OBOAOBOA32

当且仅当OA＝2OB时取等号，此时OA＝3，OB＝.

2

32

答：要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点千米处.(16

2分)