江苏省南京师范大学附属扬子中学2020届高三第二学期期初自测数学试题

17．（本小题满分14分）

如图，在南北方向有一条公路，一半径为100m的圆形广场（圆心为O）与此公路所在直线l相切于点

A，点P为北半圆弧（弧APB）上的一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，计划在?PAQ内（图中

阴影部分）进行绿化，设?PAQ的面积为S（单位：m2），

（1）设?BOP??(rad)，将S表示为?的函数；

（2）确定点P的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．

18．（本小题满分16分）

x2y23已知椭圆2?2?1（a?b?0）的离心率为，椭圆C上一点P到椭圆C两焦点距离之和为42，

ab2如图，O为坐标原点，平行与OP的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．

（1）求椭圆方程；

（2）当P在第一象限时，直线PA，PB交x轴于E，F，若PE＝PF，求点P的坐标．

19．（本小题满分16分）

已知函数h?x???2ax?ln x．

（1）当a?1时，求h?x?在2,h?2?处的切线方程；

??（2）令f?x??a21x?h?x?，已知函数f?x?有两个极值点x1,x2，且x1x2?，

22①求实数a的取值范围；

?2?,2?，使不等式f?x0??ln?a?1??ma2?1??a?1??2ln2对任意a（取值②若存在x0??1?2????范围内的值）恒成立，求实数m的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知等差数列{????}的前n项和为Sn，若{√????}为等差数列，且??1=1． （1）求数列{????}的通项公式；

（2）是否存在正整数??， 使1+????+????,???2+??2??+??2??,???4+??4??+??4??成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；

（3）若数列{????}满足????+1?????=????，??1=??，且对任意的??∈N?，都有????<1，求正整数k的最小值．

??

??2

1

数 学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵M＝?（1）求M2；

2 1?

? 1 2?．

（2）求矩阵M的特征值和特征向量．

B．选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系(?, ?) (0≤??2π)中，求曲线??2sin?与?cos??1的交点Q的极坐标．