人教版八年级下册：17.1 勾股定理同步练习题(含答案解析)

19．如图，以一个单位长度为边画一个正方形，以正方形的对角线为半径画弧，弧与数轴的交点表示两个数为： 1﹣ 、 1+ ．

上面的操作说明：数和数轴上的点一一对应．

【分析】根据题意知，DO＝OA＝OB，所以在正方形中利用勾股定理求得对角线OD的长度，再结合图形根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解． 【解答】解：∵DO2＝12+12＝2， ∴DO＝

，

∵点A在1左边，点B在1右边． ∴点A表示的实数是1﹣故答案是：1﹣

，1+

，点B表示的实数是1+．

；

20．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝2，则图中阴影部分的面积和为 2 ．

【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍． 【解答】解：设两条直角边是a，b，则a2+b2＝22， 则S阴影＝（故答案为：2．

a）2+（

b）2+×（

）2＝×（a2+b2）+1＝×4+1＝2，

三．解答题（共5小题）

21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2

﹣BN2＝AC2．

【分析】在直角三角形BNM和ANM中利用勾股定理可以得到BN2＝BM2﹣MN2，AN2＝AM2﹣MN2，然后得到BN2﹣AN2＝（BM2﹣MN2）﹣（AM2﹣MN2）＝BM2﹣AM2；又在直角三角形AMC中，AM2＝AC2+CM2，代入前面的式子中即可得出结论． 【解答】证明：∵MN⊥AB于N， ∴BN2＝BM2﹣MN2，AN2＝AM2﹣MN2 ∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AM2， 又∵∠C＝90°， ∴AM2＝AC2+CM2

∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AC2﹣CM2， 又∵BM＝CM， ∴BN2﹣AN2＝﹣AC2， 即AN2﹣BN2＝AC2．

22．如图，已知在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC边上的高AD＝8，求BC边的长．

【分析】如图，运用勾股定理直接求出BD、CD的长度，即可解决问题． 【解答】解：如图，∵AD⊥BC， ∴BD2＝122﹣82，CD2＝102﹣82， ∴BD＝∴BC＝6+

，CD＝6， ．

23．正方形网格中的每个小正方形边长都是1， （1）请在图中画出等腰△ABC，使AB＝AC＝（2）在△ABC中，AB边上的高为

．

，BC＝

；

【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可； （2）利用三角形的面积，构建方程求解即可； 【解答】解：（1）△ABC如图所示．

（2）设CD⊥AB，

∵S△ABC＝?AB?CD＝4﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×1， ∴CD＝故答案为

， ．

24．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边． （1）若b＝2，c＝3，求a的值；

（2）若a：c＝3：5，b＝16，求△ABC的面积． 【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可；

（2）设a＝3x，c＝5x，由勾股定理可求出x的值，进而可求出求△ABC的面积． 【解答】解：

（1）∵△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝3， ∴a＝

＝

；

（2）∵a：c＝3：5，

∴设a＝3x，c＝5x， ∵b＝16， ∴9x2+162＝25x2， 解得：x＝4， ∴a＝12，

∴△ABC的面积＝×12×16＝96．

25．如图．大正方形是由4个相等的直角三角形和一个小正方形拼成的． （1）在左图中，已知AE＝3，AF＝4，求小正方形的面积； （2）在右图中，已知AE＝a，AF＝b，求大正方形的面积．

【分析】（1）在直角△AEF中利用勾股定理求得EF2，则小正方形的面积等于EF2，据此即可求解；

（2）在直角△AEF中利用勾股定理求得EF2，则大正方形的面积等于EF2，据此即可求解．

【解答】解：（1）在直角△AEF中，EF2＝AE2+AF2＝32+42＝25，则小正方形的面积是25；

（2）在直角△AEF中，EF2＝AE2+AF2＝a2+b2，则大正方形的面积是a2+b2．