人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》 质量检测 - 图文

第三章《空间向量与立体几何》 质量检测 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) →→→→→→→→→①AB＋2BC＋2CD＋DC； ②2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC； →→→→→→→③AB＋CA＋BD；④AB－CB＋CD－AD. A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 2．已知向量a＝(2,4,5)、b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( ) 1515A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 223．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( ) 1111－，，0? D.?，－，0? A．(－2,2,0) B．(2，－2,0) C.?2??22??2→→4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则AB与AC的夹角为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 5．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件； ②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb； →→→→③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝2OA－2OB－OC，则P，A，B，C四点共面； ④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底； ⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|. A．5 B．4 C．3 D．2 →1?→?1?6．已知向量AM＝?0，1，2?，AN＝?－1，2，1??，则平面AMN的一个法向量是( ) A．(－3，－2,4) B．(3,2，－4) C．(－3，－2，－4) D．(－3,2，－4) →→7．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝3，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为( ) A．(1,1,1) B．(－1，－1，－1)或(1,1,1) C．(－1，－1，－1) D．(1，－1,1)或(－1,1，－1) 8．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( ) 3573A. B. C. D. 44449．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) A．90° B．60° C．45° D．30° 10．已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是( ) 22523A. B. C. D. 333311．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角A－PB－C的平面角的正切值为( ) 66A.6 B.3 C. D. 62→→→→→12．已知OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA·QB取得最小值时，

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点Q的坐标为( ) 131?133448447，， B.?，，? C.?，，? D.?，，? A.??243??224??333??333?二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． →13．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则当|AB|取最小值时，x的值等于________． 14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是________． 15．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c共面，则λ＝________. 16．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE→→→→＝3ED，以{AB，AC，AD}为基底，则GE＝________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D； (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值． 18．(本小题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF，若不存在，说明理由．

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19．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值． 20．(本小题满分12分)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别为AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2. (1)求证：A1C⊥平面BCDE； (2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小． 图1

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图2 21．(本小题满分12分)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°. 22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，C是AB的中点，D为AC的中点． (1)证明：平面POD⊥平面PAC； (2)求二面角B－PA－C的余弦值．

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