新华师大版九年级上册数学期末试卷及参考答案

23.（11分）如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,AC=8, BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到点C时,两点都停止运动.设运动时间为t秒. （1）求线段CD的长;

（2）设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得

（2）作PE?CQ,垂足为点E. ……………………………………3分 ∴?PEC??ACB?90?,PE//BC ∴?EPC??BCD

∵?BCD??B?90?,?A??B?90? ∴?BCD??A ∴?EPC??A

∵?EPC??A,?EPC??BCD ∴△EPC∽△CAB

……………………………………4分

S?CPQ:S?ABC?9:100?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;

（3）当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?请直接写出t的值.

A24?tPEPCPE5∴ ?,?ACAB810496∴PE??t?

525∴S?11?496?CQ?PE?t??t?? 22?525?248∴S??t2?t?0?t?4.8?

525……………………………………5分

QECD存在时刻t,使得S?CPQ:S?ABC?9:100. ……………………………………6分

BP

理由如下:∵S?CPQ:S?ABC?9:100

11AC?BC??8?6?24 22248?t2?t25?9 ∴524100S?ABC?解:（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得:

AB?AC2?BC2?82?62?10 ……………………………………1分

11AC?BC?AB?CD 22AC?BC8?624??∴CD?; AB105∵S?ABC?整理得:5t2?24t?27?0 解之得:t1?3,t2?9 5……………………………………2分

……………………………………7分

新华师大版九年级上册数学摸底试卷（九）A卷 第13页

∵0≤t≤4. 8 ∴当t?3s

或t?95As时,

S?CPQ:S?ABC?9:100;

Q……………………………………8分

1214424（3）t?或t?或.

55511EC图 2PDB……………………………………11分

提示:∵△CPQ是等腰三角形

∴CE?11CQ?t 22∴分为三种情况:

①当CP?CQ时,如图1所示.

A由（2）可知:△EPC∽△CAB

241?ttPCCE5∴?,?2 ABBC106144解之得:t?

55符合题意;

QPC图 1D③当QC?QP时,如图3所示.

BA

由题意可知:

DP?t,CQ?t

QDPFC图 3B∴CP?CD?DP?∵CP?CQ

24?t?t 512解之得:t?

524?t 5

作QF?CP,垂足为点F. ∵QC?QP,QF?CP ∴CF?11?24?121CP???t???t 22?5?52∴

符合题意;

②当PC?PQ时,如图2所示. 作PE?AC,垂足为E. ∵PC?PQ,PE?AC

易证: △QCF∽△ABC ∴

QCCF? ABBC新华师大版九年级上册数学摸底试卷（九）A卷 第14页

121?tt∴?52 10624解之得:t?

11符合题意. 综上所述,当t?1214424或t?或55511QECADPB时,△CPQ是等腰三角形.

A AQPCDQPC图 1DBB图 1 A AQECDPB图 2QEDPB图 2 AC AQFC图 3PDQBDP FC图 3B

新华师大版九年级上册数学摸底试卷（九）A卷 第15页

新华师大版九年级上册数学摸底试卷（九）A卷 第16页