2019届河北省衡水市高三下学期五月大联考数学(理)试题(解析版)

【答案】（1）

13；（2）①819；②奖励方案二. 161，基于“用样本?21频率估计总体分布的概率”的思想，可知日纯利润在区间?5,7?内的频率为，记其中

2【解析】（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间5,7?内的频率为日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为X，则X~B?5,性质即可求解；

（2）①基于正态分布的3?原则及其性质即可求解；

②首先计算方案一的数学期望，其次针对方案二，列出随机变量Q的分布列，计算出方案二的数学期望，比较两方案的结果，判断出选择方案二更有利. 【详解】

（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间5,7?内的频率为

??1??，基于二项分布的2??20?301?， 1002??1??. 2?记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为X，则X~B?5,0?所求的概率P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?1?C511311. ?C?5552216（2）①x?1(4.5?5?5.5?20?6.5?30?7.5?30?8.5?10?9.5?5)?6.85，100???6.85.又??1.44，

?P(3.97?Z?8.29)?P(6.85?2.88?Z?6.85? 1. 44)?P(??2??Z????)

1?P(????Z????)?[P(??2??Z???2?)?P(????Z????)]2?0.8186.

故该大型超市1000天内日纯利润在区间(3.97,8.29)的天数为1000?0.8186?819. ②易知P(Z??)?P(Z??)?1. 2对于奖励方案一：设小张每日奖金金额为Y，则Y的可能取值为70，90，其对应的概率均为

11，故E(Y)??(70?90)?80. 22对于奖励方案二：设小张每日奖金金额为Q，则Q的所有可能取值为50，100，150，200.

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121??； 233111227P(Q?100)??????；

23233181122P(Q?150)??C1???； 223391111P(Q?200)????.

23318P(Q?50)??Q的分布列为

Q P

50 100 150 2 9200 1 37 181 181721?E(Q)?50??100??150??200??100.QE(Q)?E(Y)，

318918?从数学期望的角度看，小张选择奖励方案二更有利.

【点睛】

本题主要考查了事件的概率，正态分布以及分布列计算的相关相识，考查了学生的数据分析能力和应用数学解决实际问题的能力，属于中档题.

x2y2320．已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的离心率为，过椭圆C的左焦点和上

ab2顶点的直线与圆O:x?y?（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P(0,?2)的直线l与椭圆C交于A、B两点，点O?与原点O关于直线l对称，试求四边形OAO?B的面积的最大值.

223相切. 4x2【答案】（1）（2）2 ?y2?1；

4【解析】（1）由题得：过椭圆C的左焦点和上顶点的直线方程为

xy??1，又由该?cb直线与圆相切得到：bcc2?b2?3c3，联立?，解方程组即得； 2a2（2）由题得直线l的斜率k一定存在，可设直线l:y?kx?2，代入椭圆方程，消元化简得：

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?1?4k?22241?k?4k?3x?16kx?12?0，由弦长公式求得|AB|?，再求出点O21?4k2到直线AB的距离d?2k?12，算出S四边形OAO?B84k2?3，最后求出四?d?|AB|?21?4k边形OAO?B的面积的最大值. 【详解】

（1）过椭圆C的左焦点和上顶点的直线方程为

xy??1，即bx?cy?bc?0， ?cb又该直线与圆O相切，?bcc2?b2?bc3c3?，又离心率e??，?b?1， a2a2b213?e?1?2?1?2?，?a2?4，

aa422x?椭圆C的方程为?y2?1. 4（2）由点O?与原点O关于直线l对称，得S四边形OAO?B?2S△OAB. 当直线l的斜率不存在时，l?x轴，四边形OAO?B不存在，不合题意.

当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l:y?kx?2，设A?x1,y1?，B?x2,y2?，

x222将y?kx?2代入?y2?1，得?1?4k?x?16kx?12?0，

42当??164k?3?0，即k??2?316k12xx?时，x1?x2?，， 12221?4k1?4k4222??x1?x2?2?4x1x2??41?k?4k?3， ??1?4k2从而AB?1?k2x1?x2??1?k?2k?12又点O到直线AB的距离d?，

?S四边形OAO?B?2S△OAB284k?3 ?d?|AB|?，

21?4k设4k2?3?t，则t?0，

S四边形OAO?B?8t8??2， t2?4t?4t当且仅当t?2，即k??7时等号成立，且满足???， 2?四边形OAO?B的面积的最大值为2.

【点睛】

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本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，求椭圆的面积的最值等问题，运用了弦长公式，点到直线的距离公式，属于难题；同时考查了学生的逻辑推理和运算求解能力. 21．已知函数f(x)＝mx-lnx-1（m为常数）．

（1）若函数f(x)恰有1个零点，求实数m的取值范围；

（2）若不等式mx-ex≤f(x)+a对正数x恒成立，求实数a的最小整数值． 【答案】（1）{m|m≤0或m=1}（2）实数a的最小整数值为-1

【解析】（1）首先写出f（x）的定义域，函数f（x）恰有1个零点?方程f（x）=0仅有一个正实数解，由f（x）=0，得m?的最值，结合图象求出m的范围；

lnx-ex≤a-1．设h（x）=lnx-ex，求导判断h（x）的单调区间，利（2）mx-ex≤f（x）+a?用单调性求出a的最值即可． 【详解】

解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），

函数f（x）恰有1个零点?方程f（x）=0仅有一个正实数解， 由f（x）=0，得m?设g（x）?lnx?1lnx?1，设g（x），然后求导，找出g（x）xxlnx?1， xlnx?1?lnx，则g??x??2， xx令g′（x）＞0．得0＜x＜1， 令g′（x）＜0，得x＞1，

∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴g（x）在x=1处取得唯一的极大值，即为最大值， 故g（x）的最大值为g（1）=1． 当x趋近于0时，lnx+1趋近于-∞， 所以g（x）为负数，

当x趋近于+∞时，x的增长速度大于lnx+1的增长速度， 且当x＞1时

lnx?1＞0， x故g（x）趋近于0，

由图可知，当m≤0或者m=1时，方程m=g（x）仅有一个实数解， ∴m的取值范围为{m|m≤0或m=1}； （2）∵mx-ex≤f（x）+a，

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