2013年高考文科数学真题及答案全国卷

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n，n∈A}，则A∩B＝( )．

A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2} 【答案】A

【考点】本题主要考查集合的基本知识。 【解析】∵B＝{x|x＝n，n∈A}＝{1,4,9,16}， ∴A∩B＝{1,4}．

2．(2013课标全国Ⅰ，文2)

A.

2

2

1?2i＝( )．

?1?i?21 B．?1+i C． D．

2

【答案】B

【考点】本题主要考查复数的基本运算。 【解析】

1?2i1?2i?1?2i?i?2?i1???＝?1+i. 2?1?i??2i222

3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．

1111A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】B

【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为

1. 3x2y254．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C：2?2=1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程

2ab为( )．

A． 【答案】C

【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

B．

C．y??1x D．2

c25c55【解析】∵e?，∴?，即2?.

a22a4b21b1∵c＝a＋b，∴2?.∴?.

a4a2b∵双曲线的渐近线方程为y??x，

a1∴渐近线方程为y??x.故选C.

22

2

2

xx32

5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p：?x∈R,2＜3；命题q：?x∈R，x＝1－x，则下列命题中为真命题的是( )．

A．p∧q B．?p∧q C．p∧?q D．?p∧?q 【答案】B

【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。 【解析】由2＝3知，p为假命题．令h(x)＝x－1＋x， ∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0， ∴x－1＋x＝0在(0,1)内有解．

∴?x∈R，x＝1－x，即命题q为真命题．由此可知只有?p∧q为真命题．故选B.

3

2

3

2

0

0

3

2

6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为

A． 【答案】D

【考点】本题主要考查等比数列前n项和公式。

B．

2的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )． 3 D．

C．

21?ana?1?q?a1?anq3＝3－2an，故选D. 【解析】Sn?1??21?q1?q1?3n

7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]， 则输出的s属于( )．

A．[－3,4] B．[－5,2] C．[－4,3] D．[－2,5] 【答案】A

【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。 【解析】当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)． 当1≤t≤3时，s＝4t－t. ∵该函数的对称轴为t＝2，

∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴smax＝4，smin＝3. ∴s∈[3,4]．

2

综上知s∈[－3,4]．故选A.

8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O为坐标原点，F为抛物线C：y＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，2

则△POF的面积为( )．

A．2 B．22 C．23 D．4 【答案】C

【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。 【解析】利用|PF|＝xP?2?42，可得xP＝32. ∴yP＝?26.∴S△POF＝

1|OF|·|yP|＝23. 2故选C.

9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为( )．

【答案】C

【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。

【解析】由f(x)＝(1－cos x)sin x知其为奇函数．可排除B．当x∈?0,?时，f(x)＞0，排除A.

2

??

π??

当x∈(0，π)时，f′(x)＝sinx＋cos x(1－cos x)＝－2cosx＋cos x＋1.令f′(x)＝0，得x?故极值点为x?22

2π. 32π，可排除D，故选C. 3

2

10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cosA＋cos 2A＝0，

a＝7，c＝6，则b＝( )．

A．10 B．9 C．8 D．5 【答案】D

【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。 【解析】由23cosA＋cos 2A＝0，得cosA＝

2

2

11?π?.∵A∈?0,?，∴cos A＝. 255?2?36?b2?4913∵cos A＝，∴b＝5或b??(舍)．

2?6b5故选D.

11．(2013课标全国Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A．16＋8π B．8＋8π

C．16＋16π D．8＋16π 【答案】A

【考点】本题主要考查三视图。简单组合体的体积。

【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．

V半圆柱＝

12

π×2×4＝8π， 2V长方体＝4×2×2＝16.

所以所求体积为16＋8π.故选A.

??x2?2x,x?0,12．(2013课标全国Ⅰ，文12)已知函数f(x)＝?若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．

?ln(x?1),x?0.A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 【答案】D

【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。

【解析】可画出|f(x)|的图象如图所示．

当a＞0时，y＝ax与y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除B，C； 当a≤0时，若x＞0，则|f(x)|≥ax恒成立． 若x≤0，则以y＝ax与y＝|－x＋2x|相切为界限， 由?2

?y?ax,2

得x－(a＋2)x＝0. 2?y?x?2x,2

∵Δ＝(a＋2)＝0，∴a＝－2. ∴a∈[－2,0]．故选D.

第Ⅱ卷（选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013课标全国Ⅰ，文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝______. 【答案】2

【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。

【解析】∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1?1?∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0，

2

即ta·b＋(1－t)b＝0. ∴

11?. 221t＋1－t＝0. 2∴t＝2.

14．(2013课标全国Ⅰ，文14)设x，y满足约束条件