2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第8讲圆锥曲线的综合问题第2课时圆锥曲线中的定值、定点与存在性

第2课时 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题

[基础题组练]

1．(2020·长沙市统一模拟考试)已知F1，F2分别是双曲线C：y－x＝1的上、下焦点，

2

2

P是其一条渐近线上的一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则△PF1F2的面积为( )

A.2 2

B．1 D．2

C.2

解析：选C.设P(x0，y0)，不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线x－y＝0上，因此可得x0－y0＝0.F1(0，2)，F2(0，－2)，所以|F1F2|＝22，以F1F2为直径的圆的方程为x＋y＝2，又以F1F2为直径的圆经过点P，所以x2

2

20

??x0－y0＝0

＋y＝2.由?22，得|x0|＝1，

?x0＋y0＝2?

2

0

11

于是S△PF1F2＝|F1F2|·|x0|＝×22×1＝2，故选C.

22

2．直线l与抛物线C：y＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分2

别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点( )

3

A．(－3，0) C．(3，0)

B．(0，－3) D．(0，3)

2

2y1y2222

解析：选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以·＝.又y1＝2x1，y2＝2x2，

3x1x23所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y＝2x得y－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点(－3，0)．

2

2

x2y26

3．(2020·安徽合肥模拟)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆上一点Mab3

作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为 ．

b26b21y－ny＋n解析：由e＝1－2＝，得2＝.设M(x，y)，A(m，n)，则B(－m，－n)，k1·k2＝·a9a3x－mx＋m2

y2－n2

＝2，① x－m2

b1?x?22?m?把y＝b?1－2?，n＝b?1－2?代入①式并化简，可得k1·k2＝－2＝－. a3?a??a?

2

2

2

2

2

1

答案：－

3

1

4．以下四个关于圆锥曲线的命题：

①设A，B为两个定点，K为正数，若||PA|－|PB||＝K，则动点P的轨迹是双曲线； ②方程2x－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ③双曲线－＝1与椭圆＋y＝1有相同的焦点；

25935

④已知抛物线y＝2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切． 其中真命题为 ．(写出所有真命题的序号)

解析：A，B为两个定点，K为正数，||PA|－|PB||＝K，当K＝|AB|时，动点P的轨迹是两条射线，故①错误；

12

方程2x－5x＋2＝0的两根为和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；

2双曲线－＝1的焦点坐标为(±34，0)，椭圆＋y＝1的焦点坐标为(±34，0)，

25935故③正确；

设AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A，B，P在准线l上的射影分别为M，N，

2

2

x2y2x2

2

x2y2x2

2

Q，

1

因为AP＋BP＝AM＋BN，所以PQ＝AB，

2

所以以AB为直径作圆，则此圆与准线l相切，故④正确． 故正确的命题有②③④. 答案：②③④

x2y23

5．(2020·福建五校第二次联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，上顶ab2

点M到直线3x＋y＋4＝0的距离为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l过点(4，－2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线

MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值．

??a＝4，

解：(1)由题意可得，?|b＋4|解得

＝3，b＝2，2??a＝b＋c，

??

???

2

2

2

c3

e＝＝，a2

所以椭圆C的方程为＋＝1.

164

(2)证明：易知直线l的斜率恒小于0，设直线l的方程为y＋2＝k(x－4)，k<0且k≠－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

x2y2

2

y＋2＝k（x－4），??22

联立?xy

＋＝1??164

得(1＋4k)x－16k(2k＋1)x＋64k(k＋1)＝0， 16k（2k＋1）64k（k＋1）

则x1＋x2＝，x1x2＝， 221＋4k1＋4k因为kMA＋kMB＝＝

2

2

y1－2y2－2

＋ x1x2

x1x2

（kx1－4k－4）x2＋（kx2－4k－4）x1

，

所以kMA＋kMB＝2k－(4k＋4)×1(为定值)．

x1＋x216k（2k＋1）

＝2k－4(k＋1)×＝2k－(2k＋1)＝－x1x264k（k＋1）

1

6．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的

22两条切线，切点分别为A，B.

(1)证明：直线AB过定点；

x2

?5?(2)若以E?0，?为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．

?2?

1??2

解：(1)证明：设D?t，－?，A(x1，y1)，则x1＝2y1.

2??1

2

由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.

x1－ty1＋整理得2tx1－2y1＋1＝0.

设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0. 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.

?1?所以直线AB过定点?0，?. ?2?

1

y＝tx＋，?21?(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由?可得x－2tx－1＝0.于是x＋2x??y＝2

2

2

1

x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.

1?2?设M为线段AB的中点，则M?t，t＋?. 2??

→→→→22

由于EM⊥AB，而EM＝(t，t－2)，AB与向量(1，t)平行，所以t＋(t－2)t＝0. 解得t＝0或t＝±1.

3

5?2→?2

当t＝0时，|EM|＝2，所求圆的方程为x＋?y－?＝4；

?2?5?2→?2

当t＝±1时，|EM|＝2，所求圆的方程为x＋?y－?＝2.

?2?

[综合题组练]

1．(2020·广州市调研测试)已知动圆C过定点F(1，0)，且与定直线x＝－1相切． (1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；

(2)过点M(－2，0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M)，使得∠QNM＋∠PNM＝π？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)法一：依题意知，动圆圆心C到定点F(1，0)的距离，与到定直线x＝－1的距离相等，

由抛物线的定义，可得动圆圆心C的轨迹E是以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其中p＝2.

所以动圆圆心C的轨迹E的方程为y＝4x.

法二：设动圆圆心C(x，y)，依题意得（x－1）＋y＝|x＋1|， 化简得y＝4x，即为动圆圆心C的轨迹E的方程． (2)假设存在点N(x0，0)满足题设条件．

由∠QNM＋∠PNM＝π可知，直线PN与QN的斜率互为相反数，即kPN＋kQN＝0.① 易知直线PQ的斜率必存在且不为0，设直线PQ：x＝my－2，

??y＝4x，2由?得y－4my＋8＝0. ?x＝my－2?

2

2

2

2

2

由Δ＝(－4m)－4×8>0，得m>2或m<－2. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝8. 由①得kPN＋kQN＝＝

2

y1

x1－x0x2－x0

＋y2

y1（x2－x0）＋y2（x1－x0）

＝0，

（x1－x0）（x2－x0）

所以y1(x2－x0)＋y2(x1－x0)＝0即，y1x2＋y2x1－x0(y1＋y2)＝0. 1212

消去x1，x2，得y1y2＋y2y1－x0(y1＋y2)＝0，

441

即y1y2(y1＋y2)－x0(y1＋y2)＝0. 41

因为y1＋y2≠0，所以x0＝y1y2＝2，

4

所以存在点N(2，0)，使得∠QNM＋∠PNM＝π.

4