延庆县2013—2014学年度高一第一学期期末考试

所以?2??sin(2x?)?1， …………8分 24所以当2x??4???4，即x?0时，

f(x)max?? 当2x?221?(?)??1； …………10分 222?4??2，即x?3?时， 8f(x)min??

211?2. …………12分 ?1??22220. （本小题满分12分）

已知f(x)是R上的奇函数，且当x?[0,??)时，f(x)?（Ⅰ）求f(x)的解析式；

（Ⅱ）运用函数单调性定义证明f(x)在定义域R上是增函数. （Ⅰ）解：当x?0时，?x?0，因为f(x)是R上的奇函数，

所以f(x)??f(?x)???x， …………3分

x.

????x,所以f(x)????x,x?(??,0)x?[0,??). …………4分

（Ⅱ）证明：设x1,x2?(??,??)，且x1?x2， …………5分 （1）若x1,x2?(??,0)，

则f(x2)?f(x1)???x2?(??x1) …………6分 ? ??x1??x2 …………7分 (?x1??x2)(?x1??x2)?x1??x2 …………8分

?(x2?x1)?x1??x2?0，所以f(x2)?f(x1). …………9分

（2）当x1?(??,0)，且x2?[0,??)时，f(x1)???x1?0，

f(x2)?x2?0，所以f(x2)?f(x1). …………10分

（3）x1,x2?[0,??)时，与（1）类似可证，f(x2)?f(x1). …………11分 综合（1）（2）（3）可知x1,x2?(??,??)，且x1?x2时，f(x2)?f(x1). 所以f(x)在定义域R上是增函数. …………12分

21. （本小题满分12分）

已知函数f(x)?loga(1?x)，g(x)?loga(1?kx)，其中a?0且a?1. （Ⅰ）当k??2时，求函数h(x)?f(x)?g(x)的定义域；

（Ⅱ）若函数H(x)?f(x)?g(x)是奇函数（不为常函数），求实数k的值.

解：（Ⅰ）由题意知??1?x?01，解得?1?x?， …………2分

2?1?2x?0 所以当k??2时，函数h(x)?f(x)?g(x)的定义域为(?1,). …………3分 （Ⅱ）H(x)?f(x)?g(x)

12?loga(1?x)?loga(1?kx)，其中a?0且a?1. …………4分

因为H(x)为奇函数，所以H(x)?H(?x)?0， …………5分 即loga(1?x)?loga(1?kx)?loga(1?x)?loga(1?kx)?0， …………6分 即loga(1?x)?loga(1?kx)， …………7分 所以1?x?1?kx， …………8分 所以k??1， …………9分 当k?1时，H(x)?0与题设不为常函数矛盾. …………10分 当k??1时，H(x)?loga(1?x)?loga(1?x)，其中a?0且a?1.

222222

定义域为(?1,1)，且H(?x)??H(x)，所以H(x)为奇函数.

所以k??1. …………12分

22. （本小题满分12分）

已知函数f(x)?2sinx?1.

（Ⅰ）设?为大于0的常数，若f(?x)在区间[?（Ⅱ）设集合A?{x|范围.

解：（Ⅰ）f(?x)?2sin?x?1 由?得??2?2,3]上单调递增，求实数?的取值范围；

?6?x?2?}，B?{x||f(x)?m|?2}，若A?B?B，求实数m的取值3?2?2k???x??2?2k?， …………1分

?2k??2k?， …………2分 ??x??2??2???2k??2k?所以f(?x)的单调递增区间为[??,?](k?Z)， ………3分

2??2???2?因为f(?x)在区间[?,]上单调递增，

23所以[??2?2,3]?[???,]， …………5分 2?2??????????1?3?2?2?所以?，即?3，所以0???. …………7分

4????2???4??2??3（Ⅱ）由|f(x)?m|?2，得?2?f(x)?m?2，

即m?2?f(x)?m?2， …………8分 因为A?B?B，所以A?B， 当

?6?x?2?时，2?f(x)?3， …………10分 3?m?2?2所以?，解得1?m?4. …………12分

m?2?3?