2021高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第五章 5.1 平面向量的概念及线性运算（含解析）

5.1 平面向量的概念及线性运算

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1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 交换律：a＋b＝b加法 求两个向量和的运算 ＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，求实数λ与向量a的积的运算 λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； a－b＝a＋(－b) λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘 当λ＝0时，λa＝0

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

概念方法微思考

1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？ 提示 不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa. 2．如何理解数乘向量λa.

提示 λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )

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(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × ) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之亦成立．( √ ) 题组二 教材改编

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2．已知?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________.(用a，b表示) 答案 b－a －a－b

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解析 如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，