一元二次方程根与系数的关系教案（韦达定理）-2

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

【学习目标】

1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。 4、能应用韦达定理分解二次三项式。 【内容分析】

韦达定理：对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果方程有两个实数根

x1,x2，那么

bcx1?x2??,x1x2?

aa说明：（1）定理成立的条件??0

b（2）注意公式重x1?x2??的负号与b的符号的区别

a根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值

例 若x1,x2是方程x2?2x?2007?0的两个根，试求下列各式的值：

(1) x12?x22； (2)

11?； (3) (x1?5)(x2?5)； x1x2(4) |x1?x2|．

解：由题意，根据根与系数的关系得：x1?x2??2,x1x2??2007 (1) x12?x22?(x1?x2)2?2x1x2?(?2)2?2(?2007)?4018 (2)

11x1?x2?22 ????x1x2x1x2?20072007(3) (x1?5)(x2?5)?x1x2?5(x1?x2)?25??2007?5(?2)?25??1972 (4)

|x1?x2|?(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2?(?2)2?4(?2007)?22008 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

11x1?x2，，(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2， ??x?x2?(x1?x2)?2x1x2x1x2x1x22122|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2，x1x22?x12x2?x1x2(x1?x2)，

x13?x23?(x1?x2)3?3x1x2(x1?x2)等等．韦达定理体现了整体思想． 【课堂练习】

1．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值为_________ 2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ， （x1－x2）2＝

1

3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2 ，则k= ;

2

4．若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a= ;

5．若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;

2

6．设x1,x2是方程2x－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： 11

(1)x12x2+x1x22 (2) －

x1x2

7．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

11?2x1x22

【典型例题】

例1 已知关于x的方程x2?(k?1)x?值．

(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根x1,x2满足|x1|?x2．

例2 已知x1,x2是一元二次方程4kx2?4kx?k?1?0的两个实数根．

(x1?x())x2(1) 是否存在实数k，使22x12???3成立？若存在，求出k的212k?1?0，根据下列条件，分别求出k的4值；若不存在，请您说明理由．

(2) 求使

x1x2??2的值为整数的实数k的整数值． x2x1

课后作业

1、复习指南：28-29页 2、导学精练：15-16页