高三立体几何讲义（文科）

立体几何

考点一：空间几何体的三视图

例1、在一个几何体的三视图中,正(主)视图和俯视图如图所示,则相应的侧(左)视图可以为( )

变式训练1、一个简单几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示,则其俯视图不可能为:①长方形;②正方形;③圆;④椭圆.其中正确的是( ) (A)①②. (B)②③. (C)③④. (D)①④.

考点二：空间几何体的表面积和体积

例2、某几何体的三视图(单位: cm)如图所示,则此几何体的体积 是(单位: cm3)?( ) (A)9. (B)12. (C)18. (D)24.

变式训练2、如下图是一个几何体的三视图(单位:m),则几何体的 体积为 .

考点三：与球有关的问题

例3、如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的 表面积为 .

变式训练3、一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知 该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为

9,底面周长 8为3,则这个球的体积为 .

考点四：空间线线、线面、面面的位置关系

例4、如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC, PA=2AB,、则下列结论中:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直线 BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.其中正确的有 (把所有正确的 序号都填上).

变式训练4 (2012年合肥模拟)如图是正方体或四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是?( )

考点五：直线、平面平行与垂直的判断、证明

例5、如图,在七面体ABC—DEFG中, 平面ABC∥平面DEFG,AD⊥平面DEFG,AB⊥AC,ED⊥DG,EF∥DG,且AC=EF=1,AB=AD=DE=DG=2. (1)求证:平面BEF⊥平面DEFG; (2)求证:BF∥平面ACGD; (3)求三棱锥A-BCF的体积.

变式训练5、如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PB,底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,点M是AB的中点,点E在棱上,满足DE=2PE.求证: (1)平面PAB⊥平面PMC; (2)直线PB∥平面EMC.

考点六：翻折问题

例6、如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别是AC,AB上的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2. (1)求证:DE∥平面A1CB; (2)求证:A1F⊥BE;

(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?并说明理由.

变式训练6、如图1,正方形ABCD的边长为1,分别取边BC、CD的中点E、F,连结AE、EF、AF,以AE、EF、FA为折痕,折叠这个正方形,使B、C、D重合于一点P,得到一个三棱锥,如图2,则此三棱锥的体积是 .

练习

一、选择题

1.若a、b表示互不重合的直线,α、β表示不重合的平面,则a∥α的一个充分条件是?( ) (A)α∥β,a∥β. (B)α⊥β,a⊥β.

(C)a∥b,b∥α. (D)α∩β=b,a?α,a∥b.

2.在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如图所示),若将△ABC绕BC 边所在直线旋转一周,则所形成的旋转体的体积是?( )

97π. (B) π. 2253(C) π. (D) π.

223.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示,∠ABC=45°,AB=AD=1, DC⊥BC,则这个平面图形的面积为?( )

(A)

1?24?2 (B) 421?221?22(C) ? (D)

424.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在平面,那么 ( )

(A)PA=PB>PC. (B)PA=PB

5.下图为某三棱锥的侧(左)视图和俯视图,则该三棱锥的体积为?( )

(A)

(A) 43?. (B) 83. (C) 123. (D) 243. 6.已知三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两互相垂直,OC=1,OA=x,OB=y,若x+y=4,则三棱锥O-ABC体积的最大值是?( )

312. (C) . (D) .

3337.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,点E、F、H、K分别为AC'、CB'、A'B、B'C'的中点,G为△ABC的重心.从K、H、G、B'中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则P为( ) (A)K. (B)H. (C)G. (D)B'.

(A)1. (B)

8.如图所示,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H,则在以下命题中,错误的命题是?( )

(A)点H是△A1BD的垂心. (B)AH垂直于平面CB1D1.

(C)AH的延长线经过点C1. (D)直线AH和BB1所成角为45°.

9.如图,啤酒瓶的高为h,瓶内酒面高度为a,若将瓶盖盖好倒置,酒面高度为a'(a'+b=h),则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为?( )

b且a+b>h. ab(B)1+且a+b

aa(C)1+且a+b>h.

ba (D)1+且a+b

b10.如图所示,三棱锥P-ABC的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M、N分别在BC和PO上,且CM=x,PN=2CM,下面的四个图象中能表示三棱锥N-AMC的体积V与x(x∈(0,3))的关系的是?( )

二、填空题

11.如图,三棱锥S-ABC的侧棱都相等,底面边长也都相等,M、N分别是棱SC、BC的中点,且MN⊥AM,若侧棱SA=2?,则三棱锥S-ABC外接球的表面积是 .

11题 12题 13题

12.一个底面半径为1,高为6的圆柱被一个平面截下一部分,如图1所示,截下部分的母线最大长度为2,最小长度为1,则截下部分的体积是 .

13.如图所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件 时,有MN∥平面B1BDD1.

(A)1+