数理统计在经济和管理中的应用

东北大学秦皇岛分校毕业设计（论文） 第 12 页

3 假设检验理论

统计推断的一个主要内容是统计假设检验，在本章中，我们简单回顾一下假设检验

的基本知识，简单提及一些区间估计的内容。 3.1 假设检验的基本原理和问题的提出

假设检验（或显著性检验）就是指事先提出母体参数或母体分布形式的一个假设，即原假设，然后根据抽取的子样信息来判断原假设是否合理，从而判断出母体与原假设之间的显著性差异情况。它的基本原理是首先对母体的某个特征大胆作出某种假设，然后抽样查究，再统计推理，对拒绝或接受该假设作出推断[6]。

假设检验的基本依据：在一次试验中通常不会发生概率很小的随机事件，即“小概率原理”。据此，从原假设H0出发，在规定的显著性水平α下，检验从所研究的母体中抽取的一个子样，在H0成立的条件下，若发现“相应统计量取到的子样代入统计后所得值”为小概率事件，换言之，小概率事件在一次试验中发生了，但是根据假设检验的基本依据，这与“小概率原理”相悖，所以，此时就拒绝H0，接受H1；不然接受H0。

在假设检验中，首先我们要解原假设H0问题的提出。假设检验的目的理论上是检验H0的母体与子样抽自的母体是否发生了显著性差异；事实上就是因为事先已对H0产生了怀疑，而纯粹为了推拒绝它，拒绝必须要有充分的理由；而接受只因在目前显著性水平下我们缺少拒绝的理由。

总之，首先假设检验中合理提出H0至关重要，我们应本着以下原则提出H0 [7]： i）应设可能遭拒绝的一方为原假设； ii)设可能接受的一方为备择假设；

iii)若在假设检验时因作出错误决策而付出较高代价，则应尽可能降低作出此错误决策的概率；

iv）当子样观测值与假设检验相应给定值非常接近时，应该适当增加子样容量，再继续观测进行检验；

(v)从某种角度上来说，在假设检验中得到拒绝H0的论断，更具有指导意义。 3.2 假设检验的步骤

东北大学秦皇岛分校毕业设计（论文） 第 13 页

一个完整的假设检验应按以下步骤进行： （1）提出假设；

（2）构造合适的统计量，并由子样数据计算出统计量的值； （3）规定显著性水平，设定检验规则； （4）做出判断。

假设检验的步骤还可以用流程图来表示，如图3.1所示。

根据实际问题提出假设 选择并计算统计量 给定显著性水平

不拒绝原假设H0 得出H0可能真实的结论 Y 根据规则作出统计决策 N 否定原假设H0 得出H1真实的结论 图3.1 假设检验步骤流程图

3.2.1 提出原假设和备择假设

用H0表示原假设，通常是设定母体参数等于某值；而备择假设与原假设互相排斥，不能同时成立。

假设检验问题实际上就是判断H0正确与否，若拒绝H0，则意味着接受H1. 假设检验可以分为单侧检验和双侧检验。假设某一参数?大于等于某一数值?0或小于等于?0的假设检验问题，称为单侧检验。在单侧假设检验中提出的原假设和对立假设为：

H0:???0,H1:???0 （3.1）

或

H0:???0,H1:???0 （3.2）

若提出的H0为?等于?0，那么只要???0或???0二者有一成立即可否定原假设，

东北大学秦皇岛分校毕业设计（论文） 第 14 页

我们称此类假设检验为双侧检验。其原假设和对立假设为

H0:???0,H1:???0 （3.3）

由图3.2我们可以看到双侧检验和单侧检验的拒绝域分配

图3.2 双侧、单侧检验的拒绝域分配

在假设检验中，确立H0与H1时应本着以下两个原则[8]：

（1）H0是在试验中有极大可能出现的事件，而H1在试验中很难发生。所以，在做单侧检验时，应视H0为预想结果的反面，即希望证明之。

（2）应视可能犯的严重错误为第一类错误，因为犯第一类错误的概率可控，犯第二类错误的概率不可控（“第一类错误”与“第二类错误”将在下文另作介绍）。 3.2.2 确定并计算适当的统计检验量

用于假设检验的统计量称为检验统计量，它是根据所抽取子样计算的用于检验原 假设是否成立的随机变量。检验统计量中应包含所检验的母体参数。

事实上，检验统计量就是母体参数的点估计量，但点估计量并不能直接作为检验统计量，只有将其标准化后，方可用于度量它与H0的参数之间的差异程度，其中，

检验统计量=点估计量-原假设值。

点估计量的标准差在具体的检验问题中，可根据不同的问题选择构造不同的统计量。例如，在做回归方程的显著性检验时，常常选择F统计量；在回归系数的显著性检验中选择t统计量或F统

东北大学秦皇岛分校毕业设计（论文） 第 15 页

计量。

3.2.3 给定显著性水平

显著性水平是指人们拒绝正确的原假设的概率或风险。通常取这个概率α＝0.05或0.01. 换言之，接受原假设为正确的决定的可能性是95％或99％.

假设检验所依据的原理是“小概率事件”原则，小概率事件如果在某一次实验中发生了，我们就有理由怀疑H0. 而拒绝或接受原假设的决策是以子样资料为依据的，因此，就存在着接受错误的假设或拒绝正确的假设的可能性。这里，我们称在H0为真时而拒绝H0为“弃真”错误或第一类错误；称H0为假时接受H0为“取伪”或第二类错误。

在假设检验中，我们有必要对显著性水平的含义做一个深入透彻的理解这有助于我们明晰思考问题的思路以及把握信息的内容。深刻理解显著性水平的含义对我们确定研究方案有相当重要的意义，学者认为[9]：

(1)它是在H0为真的条件下，断言否定原假设、得出关于母体参数的结论以及犯错误的概率。

(2)它也是在H0与实际状况不一致，即H0为假的条件下，假设检验否定H0、得出结论以及求出正确的母体参数的最小概率。

(3)在通常不知道H0的真伪时，它就是假设检验否定H0和产生结论的最小概率，以及犯错误的最大概率。

(4)当把假设检验视作测算母体参数的方法时，它就是产生错误测算结果的最大概率。

(5)它不是假设检验中犯错误的概率，也不是假设检验中否定H0产生结论的概率，更不是假设检验中产生错误结论的概率。 3.2.4 做出统计决策并解释

根据显著性水平和统计量的分布，可以找出接受域和拒绝域的临界值，我们把根据规定的显著性水平查表得到的检验统计量的数值叫做临界值。我们只需比较临界值与计算出的统计量的值就可以作出接受H0或拒绝H0的统计决策。

比较统计量的观测值与临界值的大小，若观测值落在临界值所划定的尾部（称之为拒绝域）内，则拒绝H0；否则认为拒绝H0的证据不足，只能被迫接受H0.