数理统计在经济和管理中的应用

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1~F?n2,n1?. F若F~F?n1,n2?，则

F分布在回归方程的显著性检验中占有着重要的位置。在F分布中，我们

可以构造统计量F?n??i2m??ii?1i?1n2m.

2.2.5 自由度

在数理统计的研究中，我们会经常遇到自由度这个概念，无论是几种重要的概率分布，或是常用统计量和回归方程的有关检验都存在确定自由度的问题，因此，有必要把自由度的概念再做一些解释。

自由度即是指能够独立地取值的数据的个数，换言之，就是指可以自由变动而不受任何约束的变量的个数。

前面介绍的统计量中，样本方差的自由度为n-1，这是为什么呢？是因为

x1?x,?,xn?x这n个量并不能自由化，而是受到一个约束

??x?x??0，

ii?1n从而使它的自由度少了一个。

在回归分析回归方程的显著性检验用到残差平方和。数据的个数n减去必须估计的参数的个数就是自由度。例如，p元线性回归方程的残差平方和的自由度就是n-p-1，这是因为回归方程中有p+1个待估参数。 2.3 参数估计

我们已经知道，数理统计的主要任务是要求我们根据所提供的数据来推断出母体的分布及与之相关的分布的数字特征。而这些问题中，我们只知道有些母体分布的类型，却不知道某些参数的值。例如，已知母体?~N??,1?，?为未知，我们只要推断出?的值后就可以对整个母体做出推断，我们称此类问题为参数估计问题。 2.3.1 点估计

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?为估计值的方法。用单一的数据值表示估计点估计是对参数真值?以单一的数据?值，在经济问题的分析及预测中经常用到。

设?1,?2??,?n子样取自母体，我们可以构造出统计量??u??1,?2??,?n?，并将之作为参数?的估计，我们称?为?的一个估计量。若?x1,x2??,xn?是??1,?2??,?n?的一组观测值，则y?u?x1,x2??,xn?就是?的一个估计值。若分布中含k个未知参数，即

?f?x;?,???,?12k?:?x;?1,?2??,?k????

则需构造k个统计量?1?u1??1,?2??,?n?,?,?k?uk??1,?2??,?n?分别作为?1,?2??,?k的估计量，我们称这种问题为参数的点估计问题。 2.3.2 区间估计

研究表明，仅仅依靠点估计难以评价待估参数估计值与其值之间的接近程度，也就

是说，无法通过点估计来度量估计值的可信程度，因此，我们引进了区间估计。

给出一个区间（置信区间）并预测真正的参数以一定的概率存在于这一区间的方法

?称为区间估计，把这一区间能覆盖真值的概率叫做置信水平。置信区间用区间的端点?1?表示出来，?????. 当给定参数?，0???1，如果有 与?212???????1?? P?12?~??这一区间能够覆盖真值的概率为1??. 这样的区间(??~??)为待估参成立，则称?1212?与??分数?的1??置信区间，称1??为置信水平或置信系数，称?为显著性水平，?12??别叫做置信区间的上限和下限。

有学者表示，区间估计与假设检验（我们将在第3章中学习假设检验）关系密切[5]：(1)二者间的统计量同分布；(2)二者间的理论依据是“小概率”原理；(3)二者间决策一致性。

2.3.3 两种参数估计方法

下面简要介绍数理统计中的两种参数估计方法。 1、矩法估计

将要估计的总体参数? 表示成母体ξ的矩的函数，然后把子样的的矩的函数视为其估计量进行估计，从而得到母体分布中参数的一种估计。我们称此估计方法为矩法。

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若母体ξ的概率函数f?x;?1,?2??,?k?已知，??1,?2??,?k???是k个未知参数。

?1,?2??,?n子样取自母体ξ. 假设ξ的k阶矩vk?E?k存在，显然vj，j

1nj且是?1,?2??,?k的函数vj??1,?2??,?k?. 子样?1,?2??,?n的j阶矩为????i.

ni?1j Step1 我们设

vj??1,?2??,?k???j,j?1,?,k （2.12）

从而得到k个未知数?1,?2??,?k的k个方程式。

Step2 联立这k个方程组可求得一组解

?i???i??,???,??,i?1,?,k （2.13） ?12n?i就是参数?的矩法估计。 如此得到的（2.13）式中的解?i

2、极大似然估计

基本原理：若在一次观察中一个事件出现了，则该事件的概率显然较大。

设母体ξ的分布已知，记为f(x,? )（若ξ为离散型随机变量，则f(x,? )为P{ξ=x}），

其中?为待估参数，则母体ξ的子样(?1,?2??,?n)的联合概率密度为

?f(x;?)或?P(?ii?1i?1nni?xi)，

对应具体的一次子样实现?x1,x2??,xn?，记

?f(x;?)?L(?)或?P(??x)?L(?)，

iiinni?1i?1称L(?)为似然函数。依“基本原理”，此时，L(?)应当取最大值.，故?的取值应当是使得L(?)取到最大值的点。我们把此种求参数? 估计值的方法叫做最大似然估计法，把由此方法而求出的参数?的估计值叫做? 的最大似然估计值。

极大似然估计步骤如下： Step1 写出似然函数L(?) ； Step2 两边取对数，并对?求导； dlnL????0； Step3 解似然方程

d?Step4 验证是否使得L(?)达到最大值。 2.3.4 估计量的评判标准

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1、无偏性

对于一个估计量，多次变更数据求估计值时，估计值的平均值与真值相一致的性质

???，则?的无偏估计为??。 叫做无偏性，即E?

2、一致性

随着数据个数的增多，估计量从概率上接近真值的性质叫做一致性。 3、均方误差

均方误差（mean square error）通常用MSE表示，估计量的误差的平方的均值叫做

??均方误差，即

??E????MSE?????2???E?????， ?var???????22????表示??是估计量??的方差，表示??自身变异的程度；?E??这个估上式中，var???????为0，此时有 ?为?的无偏估计，则?E?计量的系统偏差。如果???2????2????E?MSE????????.

4、有效性

?，??是较???var??2，则称??2为待估参数?的两个无偏估计量，若var??2更为有设?111????效的估计量。