浙江省杭州市2020届高三上学期第一次月考数学试卷

数学试题参考答案及评分标准 一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 D 6 A 7 D 8 B 9 C 10 A

二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. 4,10+42+23 12.

52?1 13. 39，a? 14. ， 933215. 1024,180 16. 72 17. 1?a1?2

三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18、解（Ⅰ）f?x??sin2x?cos2x?1?其最小正周期是T?又当2x????2sin?2x???1， …..3分

4??2???， …..5分 2?4???2?2k?，即x?k????3?2x??k?Z?时，sin???取得最小值?1，

48????3??,k?Z?． ….. 78?所以函数f?x?的最小值是1?2，此时x的集合为?x|x?k??分

（Ⅱ）g(x)?f?x???π?π???????1?2sin2(x?)??2sin2x???????2cos2x 8?842????….. 9分

由x?[????2?1,]，得2x?[?,]，则cos2x?[?,1]， ….. 11分 633322,2]， ….. 12分 2?g(x)?2cos2x?[?

若g(x)?a?2对于x?[???,]恒成立，则a?2?g(x)max?2?a?2?2 63 ….. 15分 19、解(Ⅰ) 证明：设AC?BC?1AA1?a， Q直三棱柱ABC?A1B1C1， 2?DC1?DC?2a， CC1?2a，

?DC12?DC2?CC12，?DC1?DC. …..3分

又DC1?BD，DC1IDC?D，?DC1?平面BDC. 又BC?平面BDC,?DC1?BC. …..7分

(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，DC1?2a，BC1?5a，又已知DC1?BD，?BD?在Rt△ABD中，BD?2223a.

3a,AD?a,?DAB?90o， ?AB?2a.

?AC?BC?AB，?AC?BC. …..9分

法一：取A1B1的中点E，则易证C1E?平面BDA1，连结DE，则C1E?已知DC1?BD，?BD?平面DC1E，?BD?BD，

DE，

??C1DE是二面角A1?BD?C1平面角. …..11分

在Rt△C1DE中，sin?C1DE?C1E?C1Do2a2?1，??CDE?30o.

12a2即二面角A1?BD?C1的大小为30. …..15分

法二：以点C为坐标原点，为x轴，CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系

C?xyz.则A1?a,0,2a?,B?0,a,0?,D?a,0,a?,C1?0,0,2a?. …..9分

uuuruuuururDB???a,a,?a?,DC1???a,0,a?，设平面DBC1的法向量为n1??x1,y1,z1?，

ruuur??ngDB??ax1?ay1?az1?0则?ruuuu,不妨令x1?1,得y1?2,z1?1,故可取r??ngDC1??ax1?az1?0urn1??1,2,1?.

uur同理,可求得平面DBA1的一个法向量n2??1,1,0?. …..12分

uruururuurn1?n233o?设n1与n2的夹角为?,则 cos??u, ???30. ruur?26?2n1n2由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角A1?BD?C1的大小为30. ....15分

o20、解（）1Qan?Sn?Sn?1(n?2)11

?由题意S?an(Sn?)?(Sn?Sn?1)(Sn?)222n2 ?Sn?SnSn?1?11Sn?Sn?1 …..3分 22化简得：Sn?Sn?1

2Sn?1?1?11??2 SnSn?1即{111}是公差为2 的等差数列，又??1， SnS1a1?11?2n?1,Sn?(n?N*) …..6分 Sn2n?1?1,n?1?a1,n?1?， …..8分 ?an????11S?S,n?2?,n?2n?1?n??2n?12n?3（2）

bn?Sn11111???(?) …..12分

2n?2(2n?1)(2n?2)(2n?1)(2n?1)22n?12n?1111?Tn?b1?b2?...?bn?(1?)? …..15分（其他证明可酌情给分）

22n?12

21、解: （Ⅰ）（0，

11） ，直线y??； …..4分 44（Ⅱ）16

设直线l的方程为y＝k(x－1)＋5，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

?y?k(x?1)?5由?，消去y整理得 2?y?xx2－kx＋k－5＝0，

x1＋x2＝k， x1x2＝k－5，

22

又因为y′＝(x) ′＝2x，所以，抛物线y＝x在点A，B处的切线方程分别为

22y＝2x1x－x1， y＝2x2x－x2．

得两切线的交点P(

，k－5)． ….8分 2所以点P到直线l的距离为

kd?又因为

k2?4k?202k?12． ….10分

|AB|＝1?k2(x1?x2)2?4x1x2＝k2?1k2?4k?20．….12分

设△PAB的面积为S，所以

11S＝|AB|·d＝((k?2)2?16)3≥16（当k＝2时取到等号）．

42所以△PAB面积的最小值为16． ….15分

22、解: (Ⅰ) f?(x)?f?(1)ex?1?f(0)?x, ....1分

令x?1得,f(0)?1, 再由f(x)?f?(1)ex?11?f(0)x?x2,令x?0得f??1??e.

2x所以f(x)的解析式为f(x)?e?x?12x. ....3分 2f?(x)?ex?1?x,易知f?(x)?ex?1?x是R上的增函数,且f?(0)?0.

所以f?(x)?0?x?0,f?(x)?0?x?0,

所以函数f(x)的增区间为?0,???,减区间为???,0?. ....6分 (Ⅱ) 若f(x)?12x?ax?b恒成立, 212x?ax?b?ex??a?1?x?b?0恒成立， 2即h?x??f(x)?Qh??x??ex??a?1?,

(1)当a?1?0时,h??x??0恒成立, h?x?为

R上的增函数,且当x???时,