空间向量与立体几何测试题

空间向量与立体几何测试题

一、选择题

1．空间的一个基底?a，b，c?所确定平面的个数为（ Ｃ ） Ａ．1个

Ｂ．2个

Ｃ．3个

Ｄ．4个以上

????2．已知A(1，2，?1)关于面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则BC?（Ｂ ）

Ａ．(0，4，2) Ｂ．(0，?4，?2) Ｃ．(0，4，0) Ｄ．(2，0，?2)

3．已知向量a?(x1，y1，z1)，b?(x2，y2，z2)，若a?b，设a?b?R，则a?b与x轴夹角的余弦值为（ Ｄ ）

x?xx1?x2x?x(x?x) Ｂ．21 Ｃ．12 Ｄ．?12

RRRR?????????????，MB，MC的起点与终点M，A4．若向量MA，B，C互不重合且无三点共线，O是空间任一点，则

Ａ．

?????????????，MB，MC成为空间一组基底的关系是（ Ｃ ） 能使MA?????1????1????1????Ａ．OM?OA?OB?OC

333?????????????Ｂ．MA?MB?MC ?????????1????2????Ｃ．OM?OA?OB?OC

33?????????????Ｄ．MA?2MB?MC

5．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则E是平面ABC1D1的距离是（ Ｂ ） E是A1B1的中点，31 Ｄ．

326．一条长为a的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45°和30°，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（ Ａ ）

Ａ．3 2 Ｂ．2 2 Ｃ．

Ａ．

a 2Ｂ．

a 3Ｃ．2a 2 Ｄ．2a 37．若向量a与b的夹角为60°，b?4，(a?2b)(a?3b)??72，则a?（ Ｃ ）

Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．12

8．设P是60°的二面角??l??内一点，PA?平面?，PB?平面?，A，B为垂足，PA?4，PB?2，则AB的长为（Ｄ ）

Ａ．42 Ｂ．23 Ｃ．25 Ｄ．27 9．二面角P?AD?C为60°，PD?AD，PD?AD?2，ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，则P到AB的距离为（ Ｄ ）

Ａ．22 10(x2? 知

Ｂ．3 Ｃ．2 aＤ．7 ，b)?(c已y2?p?(x，，y，q)z，?，()z2(?a2?b2)，x?若y有z等a式bc成立，则?c(?ax)?by Ａc ）z p，q之间的关系是（

Ａ．平行 Ｂ．垂直 Ｃ．相交 Ｄ．以上都可能

答案：Ａ

11．已知平面?与?所成二面角为80°，P为?，?外一定点，过点P一条直线与?，?所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（ Ｄ ） Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4条 答案：Ｄ

12．如图1，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB?平面?，

点P为?内一动点，且?APB??DPC，则P点AB?2BC?2CD?4，

的轨迹为（ Ｂ ） Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线 答案：Ｂ 二、填空题

13．已知a?(1?t，1?t，t)，b?(2，，tt)，则b?a的最小值是 35 5

????????14．在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，向量BA1与向量AC所成的角

为 120°．

15．如图2，在正三棱柱ABC?A，D在棱BB1上，且1B1C1中，已知AB?1BD?1，若AD与平面AAC11C所成的角为?，则sin?? 16．已知m，l是异面直线，那么： ①必存在平面?过m且与l平行； ②必存在平面?过m且与l垂直； ③必存在平面?与m，l都垂直； ④必存在平面?与m，l距离都相等． 其中正确命题的序号是 ①④ 三、解答题

6． 4

17．设空间两个不同的单位向量a?(x，y1，，0)b?(x2，y2，0)与向量c?(111)，，的夹角都等于解：（1）由ac?accos∴x1?y1?6． 2π6，且a·c?x1?y1， ?42π． 4又a?x12?y12?1，

∴(x1?y1)2?x12?y12?2x1y1?1?2x1y1?∴x1y1?1． 43． 2（4）同理可得x2?y2?∴x1，y1是方程x2?61，x2y2?， 2461x??0的两根，同理x2，y2也是． 24又∵a?b，∴x1?y2，x2?y1．

a·b1∴cosa，b??a·b?x1x2?y1y2?x1y1?x2y2?，

ab2∴a，b?60°．

18．如图3，已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2，底面ABCD是直角梯形，?ADC是

直角，AB∥CD，AB?4，AD?2，DC?1，求异面直线BC1与DC所成角的大小． 解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴立空间直角坐标系D?xyz， 则C1(01，，，2)B(2，4，，0)A(01，，0)． ?????????∴BC1?(?2，?3，2)，CD?(0，?1，0)． ?????????设BC1与CD所成角为?， ?????????BC1·CD317则cos??????． ??????17BC1CD建

∴??arccos317． 17317． 17∴异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos 19．如图4，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，点E在棱AB上移动，问AE等于何值时，二面角D1?EC?D的大小为

π． 4解：设AE?x，以D为原点，直线DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A1(1，01)，，D1(0，01)，，E(1，x，，0)A(1，0，，0)C(0，2，0)． ??????????????∴CE?(1，x?2，，0)D1C?(0，2，?1)，DD1?(0，0，1)． 设平面D1EC的法向量为n?(a，b，c)，

??????·D1C?0，?2b?c?0，?n??由???? ?a?b(x?2)?0，·CE?0???n令b?1，∴c?2，a?2?x．

分别

∴n?(2?x，1，2)．

?????n·DD1π222依题意cos?????． ????24nDD122(x?2)?5∴x?2?3（x?2?3不合题意，舍去）． ∴AE?2?3．

20．如图5所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB?4，BC?2，CC，BE?1． 1?3????（1）求BF；

（2）求点C到平面AEC1F的距离．

解：（1）以D为原点，DAF，DC，DF所在直线为x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系D?xyz， D(0，0，，0)B(2，4，，0)A(2，0，，0)C(0，4，，0)E(2，41)，，C1(0，4，3)， 设F(0，0，z)． ?????????由AF?EC1，得(?2，0，z)?(?2，0，2)，

∴z?2．

????∴F(0，0，，2)BF?(?2，?4，2)． ????∴BF?26．

?????n·AE?0，?1（2）设n1为平面AEC1F的法向量，n1?(x，y，，由 1)?????·AF?0，??n1，?x?1?4y?1?0，?得?∴?1

?2x?2?0．y??．???4?????0，3)，设CC1与n1的夹角为?， 又CC1?(0，?????CC1·n433则cos??????． ?1?33CC1n?????433到平面的距离． AEC1Fd?CC1cos??∴C11

21．如图6，在三棱锥P?ABC中，AB?BC，AB?BC?kPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP?底面ABC．

（1）求证：OD∥平面PAB；