高考第一轮复习数学：4.6 三角函数的图象与性质（二）

4.6 三角函数的图象与性质（二）

●知识梳理

1.三角函数的图象和性质 函 数 性 质 定义域 值域 图象 奇偶性 周期性 单调性 对称性 y=sinx y=cosx y=tanx 注：读者自己填写. 2.图象与性质是一个密不可分的整体，研究性质要注意联想图象. ●点击双基 1.函数y=sin（A.2π 解析：y=答案：B

2.若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是 A.sinx 解析：检验. 答案：B

B.cosx

C.sin2x

D.cos2x

32π3－2x）+sin2x的最小正周期是

12 B.π

32 C.

12π2

π3 D.4π

cos2x－sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（+2x），T=π.

3.（2004年天津，理9）函数y=2sin（A.［0，C.［

π3π3π6－2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是

π6］

5π6

π6

B.［D.［

π125π6，

7π12］

，］ ，π］

π6解析：由y=2sin（间得到，即2kπ+

∴kπ+

π3π2－2x）=－2sin（2x－

π6）其增区间可由y=2sin（2x－）的减区

≤2x－

5π6≤2kπ+

3π2，k∈Z.

≤x≤kπ+，k∈Z.

令k=0，故选C.

答案：C

4.（2005年北京东城区高三期末检测题）把y=sinx的图象向左平移

π3个单位，得到函

数____________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数____________的图象.

解析：向左平移

π3个单位，即以x+

π3代x，得到函数y=sin（x+

12π3），再把所得图象上

12所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以

答案：y=sin（x+

π3x代x，得到函数：y=sin（）

x+

π3）.

） y=sin（

12x+

π35.函数y=lg（cosx－sinx）的定义域是_______.

解析：由cosx－sinx＞0?cosx＞sinx.由图象观察，知2kπ－

yy=sinx3π4＜x＜2kπ+（k∈Z）.

4πO?2y=cosx?2x 答案：2kπ－●典例剖析

3π4＜x＜2kπ+

π4（k∈Z）

【例1】 （1）y=cosx+cos（x+（2）y=2sin（3x－

π412π3）的最大值是_______；

）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______. cosx－

3232剖析：（1）y=cosx+=

32sinx

12cosx－

π32sinx=3（cosx－sinx）

=3sin（

3－x）.

所以ymax=3. （2）T=

2π3，相邻对称轴间的距离为

π3π3.

答案：3

【例2】 （1）已知f（x）的定义域为［0，1），求f（cosx）的定义域；

（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域.

剖析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角.

解：（1）0≤cosx＜1?2kπ－

π2≤x≤2kπ+

π2，且x≠2kπ（k∈Z）.

∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－

π2，2kπ+

π2］且x≠2kπ，k∈Z｝.

（2）由sin（cosx）＞0?2kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）.又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1.故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－

π2，2kπ+

π2），k∈Z｝.

评述：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角

函数线.

【例3】 求函数y=sinx+cosx的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值. 剖析：将原函数化成y=Asin（ωx+?）+B的形式，即可求解.

解：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x）=1－3sin2xcos2x=1－

343586

6

sin2x=cos4x+

82

.

∴T=

π2.

kπ2当cos4x=1，即x=

（k∈Z）时，ymax=1.

深化拓展

函数y=tan（ax+θ）（a＞0）当x从n变化为n+1（n∈Z）时，y的值恰好由－∞变为+∞，则a=_______.

分析：你知道函数的周期T吗? 答案：π

●闯关训练 夯实基础

1.（2004年辽宁，11）若函数f（x）=sin（ωx+?）的图象（部分）如下图所示，则ω和?的取值是

y1?2?-O33x π3π6A.ω=1，?=C.ω=

12π3π

2π3 +

π3

2πB.ω=1，?=－D.ω=，∴ω=

1212

，?=

6，?=－.

解析：由图象知，T=4（又当x=

π32π3）=4π=×

2π3?时，y=1，∴sin（

π212+?）=1，

π6+?=2kπ+，k∈Z，当k=0时，?=.

答案：C

2.（2004年北京海淀区二模题）f（x）=2cos2x+3sin2x+a（a为实常数）在区间［0，上的最小值为－4，那么a的值等于

A.4 B.－6

解析：f（x）=1+cos2x+3sin2x+a

π2］

C.－4 D.－3

=2sin（2x+

π6π2）+a+1. ］，∴2x+

π6∵x∈［0，∈［

12π6，

7π6］.

∴f（x）的最小值为2×（－∴a=－4. 答案：C 3.函数y=?sin解析：－sin

x3）+a+1=－4.

x3的定义域是_________.

x3≥0?sin≤0?2kπ－π≤≤2kπ?6kπ－3π≤x≤6kπ（k∈Z）.

3x答案：6kπ－3π≤x≤6kπ（k∈Z）

4.（2005年北京海淀区高三期末练习题）函数y=tanx－cotx的最小正周期为____________.

解析：y=答案：

π2sinxcosxcosxsinxπ2－=－2cot2x，T=.

sin45.（2004年全国Ⅰ，17）求函数f（x）=最大值和最小值.

解：f（x）===

1?sin2x?cos4x?sin2xcos2x2?sin2x2的最小正周期、

（sin22x?cos2x）?sin22xcosx2?2sinxcosxx

xcos（21?sinxcosx）2=

1（1+sinxcosx）

14sin2x+

12，

34所以函数f（x）的最小正周期是π，最大值是6.已知x∈［

3π4，最小值是

14.

，试求其最小值.

，

3π214］，函数y=cos2x－sinx+b+1的最大值为）+

2

98解：∵y=－2（sinx+又－1≤sinx≤ymax=

17822178+b，

14，∴当sinx=－时，

+b=

2298?b=－1；

22当sinx=

时，ymin=－.

培养能力

7.求使1?sin?=2sin（

?2－

π4）成立的θ的区间.