2019-2020学年上海市南模中学高二上学期(9月)月考数学试题(解析版)

【点睛】

本题主要考查已知Sn和an求通项公式及利用等比数列前n项和公式求解恒成立问题;属于中档题.对于恒成立问题,利用分离参数法求参数的取值范围只需满足如下条件：

?1?m?f?x?恒成立?m?f?x?min； ?2?m?f?x?恒成立?m?f?x?max；

20．设x轴、y轴正方向的单位向量分别为i,j，坐标平面上的点An满足条件：

rruuurrruuuuuurrr*nOA1?i?j，AnAn?1?2i?j?n?N?.

uuuruuuuuurnSa（1）若数列?n?的前项和为n，且Sn?OA，求数列?an?的通项公式. 1?AnAn?1uuuuur*（2）求向量OAn?1的坐标，若△OA1An?1?n?N?的面积S△OA1An?1构成数列?bn?，写

出数列?bn?的通项公式. （3）若cn?bn?2，指出n为何值时，cn取得最大值，并说明理由. ann-1n?N【答案】?1?an=2?*?；?2?bn?2?nn?2n?N*?；?3?当n?3或n?4?2时,cn取得最大值为c3?c4?1. 8【解析】（1）运用平面向量数量积的坐标表示，结合平面向量垂直的条件，可得Sn，再由an与Sn的关系，即可求得数列?an?的通项公式；

（2）运用平面向量的多边形法则，以及等比数列的求和公式，得到An?1的坐标，再由三角形的面积公式即可得到△OA1An?1n?N?*?的面积，即为数列?b?的通项公式；

n（3）利用增减数列的定义,通过判断cn?cn?1的符号,判断数列?cn?的单调性，即可求数列?cn?最大值． 【详解】

uuuruuuuuurrr?1?由题意知, Sn?OA1?AnAn?1 ,i?j?0

uuuruuuuuurrrrrr2r2r2r2nn因为OA1?AnAn?1?i?j?2i?j?2i?j,i?1,j?1，

????n所以Sn?2?1 ①，所以当n?1时，a1?S1?1，

n?1当n?2时，Sn?1?2?1② ，

由 ①-②得：an?2?1?2n?n?1?1??2n?1，

n-1n?N*; 又当n?1时，a1?1符合题意，所以 an=2??uuuuuruuuruuuruuuuruuuuuur?2?因为OAn?1?OA1?A1A2?A2A3?????AnAn?1

rrrrrrrr12n?i?j?2i?j?2i?j?????2i?j

?????n???rr??1?2?2?????2?i??1?n?j

12??2n?1rr?1?i??1?n?j，

uuuuurn?1所以OAn?1??2?1,1?n?，

由当n?N*时，?OA1An?1的顶点坐标分别为：

O?0,0?,A1?1,1?,An?1?2n?1?1,1?n?,

?S?OA1An?1?12101011?2n?1?11?n11n?1n?22?n?2??2n?， ?22所以bn?2?nn?2n?N*?; ?2?3?因为cn?所以

bn?2，由?1??2?知,an=2n-1bn?2n?n?2?n?N*?， an22n?cn?n?22?2?n?2， 2n?12n当n?2时，,，

∴当1?n?3时，数列?cn?是递增数列，n?5时，数列?cn?是递减数列， 即c1?c2?c3?c4?c5?c6?????cn????, ∴当n?3或n?4时,cn取得最大值为c3?c4?【点睛】

本题考查平面向量数量积的坐标表示、数列通项和前n项和的关系及数列的单调性的运用；考查学生的运算能力和知识整合能力；属于综合型强、难度大型试题．

21．对于定义在[0,??)上的函数f?x?，若函数y?f?x??(ax?b)满足：①在区间

1． 8[0,??)上单调递减;②存在常数p，使其值域为(0,p]，则称函数g?x??ax?b是函

数f?x?的“渐近函数”.

（1）求证：函数g?x??1x不是函数f?x??0.51002x?2的“渐近函数”；

x2?2x?3（2）判断函数g?x??x?1是不是函数f?x??，x?[0,??)的“渐近函

x?1数”，并说明理由； （3）若函数f?x??x?求证：g?x?是函数f?x?x2?1，x?[0,??)，g?x??ax，

的“渐近函数”充要条件是a?2.

【答案】?1?见解析；?2?是,理由见解析；?3?见解析.

【解析】?1?利用指数型函数的单调性、单调性的性质证明出函数y?f?x??g?x?至少不满足定义中两条性质中的一条即可;

?2?用反比例函数的单调性可以判断函数y?f?x??g?x?是否满足定义中的两条性

x2?2x?3质,进而可以判断出函数g?x??x?1是不是函数f?x??，x?[0,??)的

x?1“渐近函数”；

?3?根据定义可知,函数y?f?x??g?x?在区间[0,??)上单调递减，根据单调性的定

义可以求出a的取值范围,再利用定义中的第二条性质再求出a的取值范围,最后对两个范围取交集即为a的值. 【详解】

?1?证明:因为函数y?f?x??g?x?=0.5x?2?x1x 10021?1?即y????2100x?2,由指数函数的单调性和复合函数的单调性可知,

?2?1?1?函数y????2100x?2满足在[0,??)上单调递减;

?2?当x???时,0.5xx?2?2，?1x???， 2100x1?1?所以当x???时,函数y????2100x?2趋近于负无穷大,

?2?此时不满足存在常数p，使其值域为(0,p], 所以函数g?x??1x不是函数f?x??0.52100x?2的“渐近函数”；

x2?2x?3，x?[0,??)的“渐近函数”,理由如下: ?2?函数g?x??x?1是函数f?x??x?1

x2?2x?3因为y?f?x??g?x???x?1,x?[0,??)

x?1化简可得,y?f?x??g?x??2,?x??0,????， x?12,?x??0,????是减函数; x?1由反比例函数的单调性可知,函数y?f?x??g?x??当x?0时, 函数y?f?x??g?x??2,?x??0,????有最大值为2, x?12,?x??0,????的值域为?0,2? 所以存在p?2使函数y?f?x??g?x??x?12,?x??0,????满足条件①②. 由此可得y?f?x??g?x??x?1?3?证明:(必要性)因为g?x?是函数f?x?的“渐近函数”,

令h?x??f?x??g?x?,则h?x??x?设?x1,x2??0,???,且x1?x2则有

x2?1?ax在区间[0,??)上单调递减;

h?x1??h?x2??x12?1?x22?1??1?a??x1?x2? ??x1?x2? ??x1?x2??1?a?22?x1?1?x2?1???因为?x1,x2??0,???,且x1?x2，所以x12?1?即x22?1?x1?x2,

x1?x2x?1?x2?1212?1,

因为h?x??x?x2?1?ax在区间[0,??)上单调递减,且x1?x2,

x1?x2x?1?x2?1212所以必有h?x1??h?x2??0，即有1?a?所以必有a?2成立; 因为h?x??x??0,

x2?1?ax在区间[0,??)上单调递减,

所以当x?0时,h?x?有最大值为1, 即函数h?x??x?x2?1?ax的值域必为?0,1?，

即当x???时,有h?x??0,即必有x?x2?1?ax成立, 化简可得a?1?1x2?11,, 即a?1?1??1?22xxx所以此时有a?2成立;