专题12 破解平面向量难题的法宝-决胜2018年高考数学之破解高考命题陷阱（解析版）

一．命题陷阱类型

平面向量是高中数学的基础，是每年高考必考的知识点，对初学者往往不能深刻理解有关概念和方法而陷入命题陷阱.关于平面向量的试题在命制时，主要有概念类、隐含条件类、迷惑性类、图解类等几类陷阱.其中：

1.概念类陷阱，零向量的方向问题，向量与实数的运算要与实数与实数的运算区分开，三点共线与向量共线区分开，向量的方向问题，向量的数量积与向量的夹角问题等.

2.隐含条件陷阱, 向量是高中数学的重要工具之一，向量与不等式的综合，要注意挖掘它们之间的关系和隐含条件.

3.迷惑性陷阱，三角形中的重心、垂心、内心、外心是重要的概念，用向量表示时要注意它们的区别. 4.图解类陷阱，向量与三角形的综合，以及利用向量的几何意义解决向量问题，要注意运用数形结合的方法.

二、知识——陷阱对应关系

三、常见陷阱展示

陷阱1.零向量问题（概念类）

【例1】下列说法中错误的是（ ）

A．零向量没有方向 B．零向量与任何向量平行 C．零向量的长度为零 D．零向量的方向是任意的

【陷阱提示】牢记0的定义.

【防错良方】零向量的定义是：零向量是模等于0的向量，方向是任意的,并规定零向量与任何向量平行. 【例2】判断：已知a//b，b//c，则a//c.

【解析】：这个命题是错误的，因为如果b?0，则a//b，b//c，但a与c不一定平行. 【陷阱提示】当问题涉及到向量平行（共线）时，必须考虑0. 【防错良方】：对于向量的平行和共线，必须考虑0.学@科网

陷阱2.向量与实数的运算（概念类）

【例3】下列关于向量a，b的叙述中，错误的是（ ） A．若a?b?0，则a?b?0

B．若k?R，ka?0，所以k?0或a?0 C．若a?b?0，则a?0或b?0

D．若a，b都是单位向量，则a?b?1恒成立

【解析】：选项A，若a?b?0，则|b|?|a|?0则a?b?0因此是正确的； 选项B，由向量的数乘概念若k?R，ka?0，可得k?0或a?0，因此是正确的； 选项C，当a?b时，a?b?0，所以若a?b?0，则a?0或b?0是错误.

选项D，因为a，b都是单位向量，所以a?b?|a|?|b|cos?a,b??cos?a,b??1成立，因此选C.

2222【陷阱提示】向量与实数的运算，要与实数与实数的运算区分开.

【防错良方】：对于向量的运算，要严格按照向量的运算法则和向量与实数的运算法则运算，不能照搬实数与实数的运算.

陷阱3.三点共线问题（概念类）

B?a?2b，BC??5a?6b，CD?7a?2b，则一定共线的三点是（ ）【例4】．已知向量a，b，且A

A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D

【陷阱提示】把向量共线与多点共线区分开，弄清它们之间的联系.

【防错良方】本题是一个利用平面向量的平行判断平面内三点共线的问题，属于容易题.解决本题的基本思路及切入点是，首先先判定两个向量平行，一般的如果a,b是平面内的两个向量，并且b?0，那么向量a,b平行(共线)的充要条件是存在唯一实数?，使得a??b.其次是如果非零向量AB,BD共线，则A、B、D三点共线.

陷阱4.向量的方向（概念类）

【例5】．已知a,b是两个非零向量，下列各命题中真命题的个数为（ ） （1）2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； （2）?2a的方向与5a的方向相反，且?2a的模是5a的模的（3）?2a与2a是一对相反向量； （4）a?b与?(b?a)是一对相反向量. A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】：由于a,b是两个非零向量，所以命题（1）2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍是正确的；（2）?2a的方向与5a的方向相反，且?2a的模是5a的模的

2； 52也是正确的；（3）?2a与2a是5一对相反向量也是正确的；由于?(b?a)?a?b，因此（4）a?b与?(b?a)是一对相反向量是错误的；故答案选C.

【陷阱提示】注意一个向量如果乘以正数，方向不变，如果乘以负数，方向变为相反向量．

【防错良方】本题考查向量的方向问题，一个向量如果乘以正数，方向不变，如果乘以负数，方向变为相反向量，相反向量是方向相反，模相等．学@科网

陷阱5.向量的数量积与向量的夹角（概念类）

【例6】．已知两个向量e1,e2满足e1?2,e2?1且e1与e2的夹角为60?，若向量2te1?7e2与向量e1?te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围是_______________.

【陷阱提示】两个向量夹角为钝角时，它们的数量积为负值，这包括平角，所以必须把平角情况去掉. 【防错良方】对于两个向量所成的角是钝角时，它们的数量积为负值，这种情况下包括平角，所以必须把平角情况去掉.

【例7】．在?ABC中三个内角 A、B、C所对的边分别为a,b,c 则下列判断错误的是（ ） A.若sinB.若a2A?cosA?1 则?ABC 为钝角三角形

?b2?c2 则?ABC 为钝角三角形

C.若AB?BC?0则?ABC为钝角三角形

D.若A、B为锐角且cosA?sinB 则?ABC为钝角三角形 【解析】：sinA?cosA?2sin(A??4)?1,可得??A???3?,?0?A??.A正确；由余弦定

4442理可知cosC?0，C为钝角，B正确；BC,AB的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角，故C错；由同一坐标系下的三角函数图象可知A、B为锐角且cosA?sinB，可得0?A?B?【答案】C

【陷阱提示】两个向量夹角问题必须要弄清它们所夹的角是什么.学￥科网

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