数形结合论文二次函数论文：通过几个典型例题解析二次函数中的“数形结合”思想方法

数形结合论文二次函数论文：通过几个典型例题解析二次函

数中的“数形结合”思想方法

【摘 要】数形结合的数学思想方法在初中数学中具有相当的重要性。本文通过对几个典型的例子剖析来展示数形结合的思想在二次函数中对判断参数的正负、解决方程组的问题、比较函数值大小的问题、推导二次函数平移后的方程等中的应用。

【关键词】数形结合 二次函数 前言

函数向来离不开图像。通过函数图像，我们可以很直观地理解函数，从而更好地应用函数。二次函数是初中生接触解析几何的开端，它不仅在中考中占着很重要的地位，还对学生数学思维的培养具有很重要的意义。学生在解决二次函数的问题时往往遇到很多问题，于是本文将介绍对于解决二次函数问题很有启发意义同时也是中考中经常要考的考点——数形结合。

1.由图像判断a、b、c的正负

例1：（如图1所示）抛物线方程为y=ax2+bx+c(a≠0)，则可以得出以下结论： a ＜0 ；b＞0；c＞0

解析：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0

∵抛物线顶点在第一象限，

∴-＞0 即＜0， ∴ b＞0

∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴， ∴ c ＞ 0

借由抛物线的图，我们可以清晰地知道：抛物线的开口方向由a决定，a ＞0 则开口向上，a ＜0则开口向下；在判断出了a的情况下，再借助顶点的位置（即顶点横坐标x=-的正负），才可判断出b的大小。最后，在抛物线

y=ax2+bx+c(a≠0)中，与y轴交点坐标为（0，c）,c的值由交点纵坐标决定，因此可以判断c的大小。

2.数形结合可以将求解方程的问题转化为交点问题，比较函数值大小的问题

例1：关于x的一元二次方程x2－x－n=0没有实数根，则抛物线y=x2－x－n的顶点在 ()

a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限

解析：本题的实质问题在于讨论抛物线与x轴的交点问题。譬如求方程y=ax2+bx+x (a≠0)y=kx+b的时候，数形结合的思想就可以把问题转化为y=x2-x-ny=0通过图象求两条曲线交点的问题。于是题设的问题变为解题目条件给出x2－x－n=0没有实数根，则表明抛物线与x轴没有交点。a＞0,抛物线开口向上，对称轴（即顶点横坐标）x=-= 0.5＞0，

所以抛物线的顶点在x轴正上方的第一象限，即答案a。

例2：已知二次函数在y=ax2+bx+c(a≠0)的图像过点a（7,6），b（1,3），c(5,3)。若点d（-3，y1），e（-2，y2），f（4，y3）也在二次函数的图像上，则y1、y2、y3的大小关系？

解析：此题的一般思路是根据a、b、c三点的坐标求得函数解析式，然后把d、e、f三点中的横坐标代入求得纵坐标的值，从而比较y1、y2、y3的大小关系，但此过程会耗费相当长的计算时间。如果将此题联系函数图像解答将会简单很多，如图2所示。由a、b、c三点的坐标可以得到抛物线的对称轴为直线x=3（其中b、c两点为轴对称点，因为他们的纵坐标值相等），且由三点的位置可知抛物线开口向上，因此在对称轴的左边也就是x＜3时，y随x的增大而减小，在对称轴的右边也就是x＞3时，y随x的增大而增大，故y1＞y2，又因为点f（4，y3）距对称轴x=3的距离小于点e（-2，y2）距对称轴的距离，所以y1＞y2＞y3。解此类问题除了要熟悉不同类型抛物线的顶点两侧函数值的变化趋势，还要通过判断不同x与抛物线对称轴的距离来比较函数值的大小。

3.数形结合可以求得平移后的抛物线解析式

例1：抛物线y =8x2向左平移5个单位长度，向上平移2个单位长度，问得到的新抛物线的表达式是什么？