精品解析：2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)(解析版)

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P?C?的估计值为0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 【答案】(1) a?0.35，b?0.10；(2) 4.05，6. 【解析】 【分析】

(1)由P(C)?0.70及频率和为1可解得a和b的值；(2)根据公式求平均数.

【详解】(1)由题得a?0.20?0.15?0.70，解得a?0.35，由0.05?b?0.15?1?P(C)?1?0.70，解得

b?0.10.

(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为

0.15?2?0.20?3?0.30?4?0.20?5?0.10?6?0.05?7?4.05，

乙离子残留百分比的平均值为0.05?3?0.10?4?0.15?5?0.35?6?0.20?7?0.15?8?6 【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.

18.?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asin（1）求B；

（2）若?ABC为锐角三角形，且c?1，求?ABC面积的取值范围． 【答案】(1) B?【解析】 【分析】

(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得B?A?C?bsinA． 2?3;(2)(33,). 82?3.(2)

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1ac?sinB，又根据正弦定理和c?1得到SABC关于C的函数，由于VABC2?是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算C的定义域，最后求解SABC(C)的值域.

2A?CA?C?bsinA，由正弦定理得sinAsin?sinBsinA，因为0?A??，【详解】(1)根据题意asin22A?C?sinB。 故sinA?0，消去sinA得sin2A?CA?CA?C??因为故?B或者?B??，而根据题意A?B?C??，故0?B??，0?222?A?CA?C?B??不成立，所以?B，又因为A?B?C??，代入得3B??，所以B?. 223?2(2)因为VABC是锐角三角形，由（1）知B?，A?B?C??得到A?C??，

33根据三角形面积公式SABC???0?C?????2故?，解得?C?.

62?0?2??C???32?又应用正弦定理

ac?，c?1， sinAsinC由三角形面积公式有：

112a12sinA3?ac?sinB?c?sinB?c?sinB??ABC22c2sinC42?2?sincosC?cossinC332?12?313. 33????(sin?cos)??4sinC43tanC38tanC8S又因

sin(2??C)3sinC?6?C??2,tanC?333133,故， ???388tanC82故3?S8ABC?3. 233,) 82故SABC的取值范围是(【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查VABC是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题.

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其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，19.图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B?CG?A的大小.

【答案】(1)见详解；(2) 30. 【解析】 【分析】

(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED，RtABC和菱形BFGC内部的夹角，所以AD//BE，BF//CG依然成立，又因E和F粘在一起，所以得证.因为AB是平面BCGE垂线，所以易证.(2)在图中找到

B?CG?A对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑B关于GC的垂线，发现此垂足与A的连线也垂

直于CG.按照此思路即证. 【详解】(1)证：

AD//BE，BF//CG，又因为E和F粘在一起.

?AD//CG，A，C，G，D四点共面.

又

AB?BE,AB?BC.

?AB?平面BCGE，

AB?平面ABC，?平面ABC?平面BCGE，得证.

(2)过B作BH?GC延长线于H，连结AH，因为AB?平面BCGE，所以AB?GC

而又BH?GC，故GC?平面HAB，所以AH?GC.又因为BH?GC所以?BHA是二面角

B?CG?A的平面角，而在△BHC中?BHC?90，又因为?FBC?60故?BCH?60，所以

BH?BCsin60?3.

而在ABH中?ABH?90,tan?BHA?AB13，即二面角B?CG?A的度数为30. ??BH33

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【点睛】很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的。再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法。最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力。

20.已知函数f(x)?2x?ax?b. （1）讨论f(x)的单调性；

32（2）是否存在a,b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为?1且最大值为1？若存在，求出a,b的所有值；若不存在，说明理由.

?a?4?a?0 【答案】(1)见详解；(2) ?或?b?1b??1??【解析】 【分析】

(1)先求f(x)的导数，再根据a的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据a的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出a,b的值.

32【详解】(1)对f(x)?2x?ax?b求导得f'(x)?6x?2ax?6x(x?).所以有

当a?0时，(??,)区间上单调递增，(,0)区间上单调递减，(0,??)区间上单调递增； 当a?0时，(??,??)区间上单调递增；

a3a3.2a3当a?0时，(??,0)区间上单调递增，(0,)区间上单调递减，(,??)区间上单调递增. (2)若f(x)在区间[0,1]有最大值1和最小值-1，所以

若a?0，(??,)区间上单调递增，(,0)区间上单调递减，(0,??)区间上单调递增；

此时在区间[0,1]上单调递增，所以f(0)??1，f(1)?1代入解得b??1，a?0，与a?0矛盾，所以a?0不成立.

a3a3a3a3

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