2017-2018版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 实数系 3.1.2 复数的

3.1.1 实数系 3.1.2 复数的引入(一)

明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.

1.复数的有关概念 (1)复数

①定义：设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数，i叫做虚数单位.a叫做复数的实部，

b叫做复数的虚部.

②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R). (2)复数集

①定义：全体复数所构成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母C表示. 2.复数的分类及包含关系

?(1)复数(a＋bi，a，b∈R)?虚数

?

(2)集合表示：

实数b＝

b?纯虚数a＝????非纯虚数a

3.复数相等的充要条件

设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.

[情境导学]

为解决方程x＝2，数系从有理数扩充到实数.数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，x＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在

2

2

2

新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题. 探究点一 复数的概念

思考1 为解决方程x＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x＋1＝0在实数系中无根的问题呢？

答 设想引入新数i，使i是方程x＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x＋1＝0有解，同时得到一些新数.

思考2 如何理解虚数单位i? 答 (1)i＝－1.

(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律.

(3)由于i＜0与实数集中a≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中，不再成立. (4)若i＝－1，那么i＝1，i

2

4n4n＋1

2

2

2

2

2

2

2

＝i，i

4n＋2

＝－1，i

4n＋3

＝－i.

思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？什么叫虚数？什么叫纯虚数？

答 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部.

对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数. 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数、虚数还是纯虚数. 1

①2＋3i；②－3＋i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.

2

1

解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为2，

2虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.

反思与感悟 复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.

跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由.

(1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数； (3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数.

解 (1)存在且有无数个，如－2＋i等；(2)存在且不唯一，如1－2i等；(3)存在且唯一，即－2i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.

m2－m－62例2 求当实数m为何值时，z＝＋(m＋5m＋6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)

m＋3

2

纯虚数.

m2－m－62

解 由已知得复数z的实部为，虚部为m＋5m＋6.

m＋3

(1)复数z是实数的充要条件是

??m＋5m＋6＝0，???m＋3≠0

2

??m＝－2或m＝－3，

????m≠－3

?m＝－2.

∴当m＝－2时，复数z是实数. (2)复数z是虚数的充要条件是

??m＋5m＋6≠0，

???m＋3≠0

2

?m≠－3且m≠－2.

∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数. (3)复数z是纯虚数的充要条件是

m－m－6??＝0，m＋3???m2＋5m＋6≠0

2

??m＝－2或m＝3，

??

?m≠－3且m≠－2?

?m＝3.

∴当m＝3时，复数z是纯虚数.

反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数.

跟踪训练2 实数m为何值时，复数z＝纯虚数.

解 (1)要使z是实数，m需满足m＋2m－3＝0，且3.

(2)要使z是虚数，m需满足m＋2m－3≠0，且－3.

(3)要使z是纯虚数，m需满足

2

2

2

mm＋

m－1

＋(m＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)

2

mm＋m－1

有意义即m－1≠0，解得m＝－

mm＋m－1

有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠

mm＋

m－1

＝0，m－1≠0，

且m＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2. 探究点二 两个复数相等 思考1 两个复数能否比较大小？

答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小. 思考2 两个复数相等的充要条件是什么？

答 复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).

3

例3 已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y.

??2x－1＝－y，

解 由复数相等的充要条件得?

??1＝y－3.

3??x＝－，2解得???y＝4.

反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.

跟踪训练3 已知M＝{1，(m－2m)＋(m＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值.

解 ∵M∪P＝P，∴M?P， ∴(m－2m)＋(m＋m－2)i＝－1或 (m－2m)＋(m＋m－2)i＝4i. 由(m－2m)＋(m＋m－2)i＝－1，

??m－2m＝－1，得?2

?m＋m－2＝0，?

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

解得m＝1；

由(m－2m)＋(m＋m－2)i＝4i，

??m－2m＝0，得?2

?m＋m－2＝4，?

2

解得m＝2.

综上可知m＝1或m＝2.

1.已知复数z＝a－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( ) A.2，1 C.±2，5 答案 C

?a＝2?解析 令?

??－2＋b＝3

2

2

B.2，5 D.±2，1

，得a＝±2，b＝5.

2

2.下列复数中，满足方程x＋2＝0的是( ) A.±1 C.±2i 答案 C

3.如果z＝m(m＋1)＋(m－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )

2

B.±i D.±2i

4

A.1 C.－1 答案 B

?＝0?mm＋?解析 由题意知2

?m－1≠0?

B.0 D.－1或1

，∴m＝0.

4.下列几个命题：

①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－ai(a∈R)是一个复数； ④虚数的平方不小于0；

⑤－1的平方根只有一个，即为－i； ⑥i是方程x－1＝0的一个根； ⑦2i是一个无理数. 其中正确命题的个数为( ) A.3 C.5 答案 B

解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误. [呈重点、现规律]

1.对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；

2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.

B.4 D.6

4

5