高考数学一轮专题精讲6：函数与方程

分析：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？

略解：图象在闭区间[a，b]上连续的单调函数f(x)，在(a，b)上至多有一个零点。 点评：①第一步确定零点所在的大致区间(a，b)，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；

②建议列表样式如下： 零点所在区中点函数值 间 [1，2] [1，1.5] [1.25，1.5] f(1.5)>0 f(1.25)<0 f(1.375)<0 区间长度 1 0.5 0.25 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步。 题型5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点

例9． 设二次函数，方程的两个根满足

0?x1?x2?1a. 当时，证明f(x)?x?a(x?x1)(x?x2)，

1a。

证明：由题意可知

?0?x?x1?x2?,

∴ a(x?x1)(x?x2)?0,

9

∴ 当时，f(x)?x。

又f(x)?x1?a(x?x1)(x?x2)?x?x1?(x?x1)(ax?ax2?1), x?x1?0,且ax?ax2?1?1?ax2?0, ∴ f(x)?x1,

综上可知，所给问题获证。

点评：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数f?x??x的表达式，从而得到函数f(x)的表达式

例10．已知二次函数f(x)?ax2?bx?1(a,b?R,a?0)，设方程f(x)?x的两个实数根为x1和x2.

（1）如果x1?2?x2?4，设函数f(x)的对称轴为x?x0，求证：x0??1； （2）如果x1?2，x2?x1?2，求b的取值范围.

解析：设g(x)?f(x)?x?ax2?(b?1)x?1，则g(x)?0的二根为x1和x2。 （1）由a?0及x1?2?x2?4，可得 ?b3?3?3???0,??2a4a即?

b3??4?2???0,?2a4a??g(2)?0?g(4)?0，即??4a?2b?1?0?16a?4b?3?0，

两式相加得

b2a?1，所以，x0??1；

b?1a)?2（2）由(x1?x2)2?(又x1x2?1a4a, 可得 2a?1?

(b?1)?12。

?0，所以x1,x2同号

10

∴ x1?2，

??0?x1?2?x2x2?x1?2等价于?2??2a?1?(b?1)?1

??x2??2?x1?0或?22a?1?(b?1)?1??,

?g(?2)?0??或?g(0)?0?2??2a?1?(b?1)?1即

?g(2)?0???g(0)?0?2??2a?1?(b?1)?114

解之得 b?或b?74。

点评：条件x1?2?x2?4实际上给出了f(x)?x的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化 题型6：一元二次函数与一元二次不等式

例11．设，若，，, 试证明：对

于任意，有。

解析：∵ f??1??a?b?c,f?1??a?b?c,f?0??c, ∴ a?12(f?1??f??1??2f?0?),b?12(f(1)?f(?1)),c?f?0?,

?x2?x??x2?x???f??1????f?0?1?x2. ∴ f?x??f?1???2??2???????∴ 当?1?x?0时，

11

f?x??f?1??x?x22x?x222?f??1??x?x222?f?0??1?x2??x?x2?1?x?x2?x??x2?x??????(1?x2)?????2?2???????x?x?1??(x?12)?22

54?54.当0?x??1时，

f?x??f?1??x?x222?f??1??x?x222?f?0??1?x

2?x?x22?x?x2?1?x

?x2?x?????2??????x?x?12??x2?x????(1?x2) ??2??5

??(x?)??.244125综上，问题获证。

点评：本题中，所给条件并不足以确定参数a,b的值，但应该注意到：所要求的结论不是确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用f?0?,f?1?,f??1?来表示a,b,c。

例12．已知二次函数，当时，有，求证：当时，有 解析：由题意知：f(?1)?a?b?c,f(0)?c,f(1)?a?b?c， ∴ a?

12(f(1)?f(?1)?2f(0)),b?12(f(1)?f(?1)),12

c?f(0)，