初高中数学衔接--因式分解

因式分解

因式分解就是把一个多项式化成几个因式积的形式。常见的基本方法有：（1）提公因式法 （2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法；（5）方程求根法；

一．提公因式法： 例1.把8a

练习：把下列各式分解因式

（1）15xy?5xy-20xy （2）（x-y)2(x?y)2-2(x-y)3-(y-x)4

二．公式法： 常用公式主要有：

（1）平方差公式：（a+b)(a-b)=

（2）完全平方公式：（a?b)? （a-b)? （3）立方和（差）公式：a?b? a?b? （4）和（差）的立方公式：（a?b)? （a?b)? （5）三数和的平方公式：(a?b?c)? 练习：把下列各式分解因式

（1）（x?p)2?(x?q)2? （2）125m?8n? （3）3ax?6axy?3ay? （4）x?y? （5）x?9x?27x?27?

三．十字相乘法：

其实质是通过尝试拼凑的办法拆散系数，使之满足三个相等。即：

3233333332b?12ab3c分解因式 例2.

把x(x-y)(a-b)-y(y-x)(b-a)分解因式

32223223322266a?a1.a2; c?c1.c2; b?a1c2?a2c1

则ax?bx?c?(a1x?c1)(a2x?c2) 通常表示为

2a1a2

c1c2

b?a1c2?a2c1，称之为十字相乘法。

例3.把6x?7x?2分解因式（实系数的二次三项式）

2

例4.把（a2?1)x2?(2a2?a?1)x?a(a?1)分解因式（带有字母的系数的二次三项式）

练习：把下列各式分解因式

（1）m?4mn?12n? （2）6x2?13xy?6y2= （3）4x4?37x2y2?9y4? （4）4m?8mn?3n? （5）（a2?a)x2?(ab?2b)x?6b2? （6）3x2?2(2a?1)x?a2?1? （7）x?3x?28x? （8）（x2?2x)2?7(x2?2x)?8? 四．分组分解法：

就是通过分组发展条件，以达到最终分解因式的目的。分组的原则有两条： （1）分组后至少有一组可因式分解；（2）组和组之间还可以分解因式。

223223（ax?by)?(bx?ay)因式分解 例5 ①把x?xy?xy?y分解因式 ②把-a?b?2ab分解因式 ③把

432222222

练习：把下列各式分解因式

322（1）x?3x?3x?9 （2）xy?3x?2xy?6y （3）3a?bc?3ac?ab

322

43222（4）am?bn-an-abm （5）1-m?n?2mn （6）xy?2xy?xy?2xy

222

五．方程求根法：

这种方法和十字相乘法一样是针对一定的二次三项式分解因式的方法。若ax?bx?c?0的两根为x1，

2x2，则ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)

22例6. 把4x?8x?1分解因式 例7.把2x?8xy?5y分解因式

2

练习：把下列各式分解因式

2222（1）6x?9x?42 （2）42x?85xy?42y （3）3x?5xy?y

2