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2012年
宁夏医科大学大学生数学建模竞赛
参 赛 题 号： A题 参赛报名号 ： 参 赛 队 员：1. 程爱华 2. 梁艳丽 3. 王永军
参 赛 日 期： 2012-5-19
SARS的传染和控制模型
梁艳丽 程爱华 王永军 理学院2011及电子信息班
摘要：本论文主要研究的是SARS传染病的预测和控制问题。
医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
本论文通过建立传染病模型，分析被传人数多少与哪些因素有关。 关键词：SARS、传播、数学模型、控制、传染、预测
一． 问题的提出
从历史的视角来看，随着人类知识的积累认识的加强，科学技术的发达和社会的进步，人类征服、控制瘟情(传染病)的时间正在缩短。天花，鼠疫等疫情，存在了几百年，上千年，人类不知其为何物，直至十九世纪终于发现它们是由病毒、细菌导致的。而得到了艾滋病，其找到病原体的时间大大缩短，它在1981年被发现，而分离出病原体只用了三,四年时间，这次非典型肺炎从发现到查出其原凶——冠状病毒只用了三四个月。到目前为止，有不少地区和国家通过得力的措施和医疗手段，对非典型肺炎的疫情己得到有效的控制。但也有一些地区疫情仍在继续漫延.，单从医学方面研究新型传染病经常不能有效而及时的控制传染病的流行，因此依据机理分析的方法建立数学模型定量的研究传染病的传播规律，更成为预测和控制传染病蔓延的有效途径。 我们提出的问题是：
（1） 建立一个新的定量分析模型，并说明怎样才能够为SARS病的预测和控制提供可靠
地信息模型，指出建模的重点和难点；
（2） 对模型的合理性进行评估，同时进行合理的修改，使之更加的准确；
（3） 大胆的对我国卫生部门已经采取的预测和控制SARS病的措施作出评论，并对比，
对模型进行改进。
二． 问题分析
SARS病的传播受到很多方面因素的控制，就如受到很多自然因素和社会因素的制约和影响，例如传染者的数量和传染者在总的人口中所占的百分比，传染者的可感染期限。传染率的大小，以及传染者在人口中流动的频率。现代医疗水平的高低以及发现病例时间长短都有可能影响传染病的蔓延速度，于此同时人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的措施，以及个体免疫力的差异等等。所以我们在建立数学分析模型的时候一定要把诸多问题考虑在内，然后进行一个统一准确的分析，抓住主要问题，具体分析，采取合理的假设，把问题由简单到复杂，深入浅出的阐述清楚，从而使模型逐步完善，达到实际应用的效果。
我们在建立模型的时候，会考虑SARS病人发病阶段的各种症状，并对各个症状用数学统计进行准确分析，求出各个阶段防御和治愈的概率，并以此采取有效的预防和控制措施，从而使被感染人员人数减少，被治愈人员人数上升。因此，我们建立一个能够预算采取不同力度的预防和控制措施是疫情的控制情况模型
在建立控制模型时，主要考虑人口流动率，而人口流动率又主要由行业流动强度和所占比重决定，同时，我们还会考虑人口的数量，以及该市感染人口数量与该市总人口的比例关系，来确定今后感染人口的数量，以及不断上升的趋势。
三． 基本假设
根据本论文的实际情况，我们得出如下假设：
（1） 已被治愈的病人可认为不再有复发的可能； （2） 病人被治愈后有长期的免疫能力；
（3） 一个地区只要传染病得到有效地控制，传播的速度将接近于零；
（4） 在分析SARS病毒的发展规律时，可以把人员的迁入和迁出列入考虑范围之外； （5） 人体其与SARS病毒相近的病毒的抗体对SARS病毒的抵抗无效； （6） 在临床上被确诊死亡的病例都可认为是由SARS病毒致死；
（7） 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素； （8） 病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天
被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。
四． 自定义符号说明
（1） 易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t) ，表示t时刻未染病但有可
能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；
（2） 感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人
而且具有传染力的人数占总人数的比例；
（3） 恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出
的人数；
（4） 病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ； （5） 日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ； （6） 传染期接触数为σ
五． 模型的建立
在以上八个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：
s i r λsi μi 在假设1中显然有： s(t) + i(t) + r(t) = 1
对于病愈免疫的移出者的数量应为
Ndr??Ni dt不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为s0（s0＞0），i0（i0＞0），r0=0. SIR基础模型用微分方程组表示如下：
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