2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（10平面向量）

年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全

（10平面向量）

一、选择题：

?????????1. (2005北京文、理)若|a|?1,|b|?2,c?a?b，且c?a，则向量a与b的夹角为

（A）30° （B）60° （C）120° （D）150° 【答案】C

【详解】设所求两向量的夹角为?

2005

?c?a?b　　c?a ?c.a?(a?b).a??????????2??a?.a ?b0???|a|2??|a||b|cos? 即：cos??所以??120.

????o????|a|??2|a||b|???1 ???2|b||a|?【名师指津】 对于a.b?|a||b|cos?这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直（平行）的

充要条件必需掌握.

2．(2005湖北文)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超过5，则k的取值范围是 （ ） A．[－4，6] B．[－6，4] C．[－6，2] D．[－2，6]

-6≤k≤2,即k的取值范围为[-6,2],选(C)

??2?2?2??解：∵|a?b|?a?b?2ab?8?25?k2?2(?10?2k)?13?k2?4k,由题意得k2+4k+-12≤0,解得

3．(2005湖南文)P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

[评述]:本题考查平面向量有关运算，及“点积为零，则两向量所在直线垂直”相关知识. 【思路点拨】本题涉及在三角形中的向量运算.

【正确解答】 [解法一]:由PA?PB?PB?PC得PA?PB?PB?PC?0. 即PB?(PA?PC)?0,即PB?CA?0

则PB?CA,同理PA?BC,PC?AB 所以P为?ABC的垂心. 故选D.

[解法二]:特例法,将△ABC变成一个直角三角形,可得到答案.选C. 【解后反思】本题是一道复杂的综合题,题目中存在用向量去解决有关三角形的性质,有许多同学会失去方向,手足无措,其实向量与三角形有密切联系,向量可以证明许多有关三角形的定理,例如正弦定理,余弦定理的证明,而三角形也对向量有很大的影响,如向量的三角形法则等.充分发挥多种数学知识的联系,可以让我们在解决问题的过程中,多一种解决思路.

4．(2005江西文、理)已知向量a?(1,2),b(?2,?4),|c|?5,若(a?b)?c?5,则a与c的夹角为2 （ ） A．30° B．60° C．120° 【思路点拨】本题考查平面向量的运算及向量的夹角公式.

D．150°

5????【正确解答】设c?(x,y)，则(a?b)?c?(?1,?2)?(x,y)??x?2y?，又

21?????|c|?5，所以a?c?x?2y?|a|?|c|?cos?，得cos???，??120?， 选C.

2

????????a?b【解后反思】设a,b的夹角为?,则cos????,???b?0且a?b?1(2) 当0,??,(1)当?为锐角,有a??|a||b|??????????为钝角,有a?b?0且a?b??1(3)当??0,a,b共线且方向相同.(4)当??时, a?b?0.

2

????????????????????????5. (2005全国Ⅰ文)点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA?OB?OB?OC?OC?OA，则点O是?ABC的

（A）三个内角的角平分线的交点 三条中线的交点

????????????????????????解：OA?OB?OB?OC?OC?OA,即 ????????????????????????????????????????????得OA?OB?OC?OA,OB(OB?BA)?(OB?BC)(OB?BA

????????????????????????????????????即BC(OB?BA)?0,故BC?OA?0,BC?OA,同理可证AC?OB, ∴O是?ABC的三条高的交点,选(D)

（B）三条边的垂直平分线的交点 （D）三条高的交点

（C）

6. (2005全国Ⅱ文、理)已知点A（3，1），B（0，0），C（3，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC??CE，其中λ等于

（A）2 （B）

11 （C）－3 （D）－ 23【思路点拨】本题考查平面向量的基础知识，可根据点C的特殊位置，利用角平分线的性质，就

可求E点坐标.

【正确解答】由题意可知?ABC是直角三角形且?ABC?30?，?CAB?60?，

??CAE?30?，?|BE||AE||BC|?3|CE|，????3.选C ??2，?|CE||CE|【解后反思】灵活运用相关知识是解决问题的有效手段，本题可用向量法，也可由坐标法、都要求出点C坐标，但相对来说，用平几知识比较方便.

7. (2005全国Ⅱ文、理)点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，-3）（即点P的运动方向与v

相同，且每秒移动的距离为|v|个单位）.设开始时点P的坐标为（-10,10）,则5秒后点P的坐标为 （A）（-2，4） （B）（-30，25） （C）（10，-5） （D）（5，-10）

【思路点拨】本题利用物理知识考查向量坐标公式的由来，借助图形正确地找出经过t秒后点的C的位置.

【正确解答】由题意可得t秒后点P的坐标为(?10?4t,10?3t)，t=5时，P点坐标为（10，－5）.选C.

??????????????解法2：设5秒后点P运动到点A,则PA?PO?OA?5V?(20,?15),

????∴OA?(20,?15)?(?10,10)=(10,-5),选(C)

【解后反思】数学学科中各个知识点都是有定义的.定义的理解与掌握是解决一切问题的基础的基础，回归定义，理解定义是学习数学的起点，也是落脚点.

????????????8. (2005山东文、理)已知向量a,b，且AB?a?2b，BC??5a?6b，CD?7a?2b，则一定共线

的三点是

（A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D 【思路点拨】本题考查向量的基础知识和运算能力，理解和掌握两个向量共线和三点共线的充要条件是解决本题的关键.

??????????????????【正确解答】BC?CD?BD?2a?4b，因为AB?a?2b，且有一个共点B所以A、B、D三点共

线.选A

【解后反思】一般地，a,b（b?0），共线的充要条件是存在唯一实数?，使a??b.因此寻找恰当的?，注意共线向量与三点共线之间的区别与联系

??????????9．(2005浙江文)已知向量a??x?5,3?,b??2,x?，且a?b，则由x的值构成的集合是( )

(A)?2,3? (B)??1,6? (C) ?2? (D) ?6?

????解：由a?b得a?b=0,即(x-5)·2+3×x=0解得x=2,选(C)

10．(2005重庆文)设向量a=（－1，2），b=（2，－1），则（a·b）（a+b）等于 A．（1，1） B．（－4，－4） C．－4 D．（－2，－2） 解：（a·b）（a+b）=[-2+(-2)](1,1)=(-4,-4),选(B)

（ ）

11．(2005重庆理)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量AC与DA的

夹角为 （ ）

4444 B．arccos C．arccos(?) D．－arccos(?)

25555????????解：∵AC?(1,2),D(5,2),DA?(2,1),

????????4AC?DA44??????∴cos(180°-∠DAC)=????,∴∴∠DAC=arccos(?),即向量AC与DA的夹角为

5|AC||DA|5554arccos(?),选(C)

5

A．

??arccos

二、填空题：

YCY ????????1. (2005春招上海)在△ABC中，若?C?90，AC?BC?4，则BA?BC? 16 . ?2．(2005福建文)在△ABC中，∠A=90°，AB?(k,1),AC?(2,3),则k的值是 .

????????3解：由AB?AC?(k,1)?(2,3)?0,得k=?

2

3．(2005福建理)在△ABC中，∠C=90°，AB?(k,1),AC?(2,3),则k的值是

A．5

B．－5

C．3

D．?3

（ ）

22????????????????????解：∵∠C=90°,∴CB?AC?0,?(AB?AC)?AC?0,即((k-2,-2)·(2,3)=0,解得K=3,选(A)

4. (2005广东)已知向量a?(2,3)，b?(x,6)，且a//b，则x? 4 ．

解：∵a//b，∴x1y2?x2y1，∴2?6?3x，∴x?4.

5．(2005湖北理)已知向量a?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超过5，则k的取值范围是 . ??2?2?2??解：∵|a?b|?a?b?2ab?8?25?k2?2(?10?2k)?13?k2?4k,由题意得k2+4k+-12≤0,解得

-6≤k≤2,即k的取值范围为[-6,2]

6. (2005江苏)在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则OA(OB+OC)的最小值是 . 答案:-2

[评述]:本题考查了向量与解析几何知识交汇问题,可利用向量的性质,结合均值不等式知识综合求解;

或者选取特殊三角形,把向量式转化为二次函数关系式,利用二次函数求出其最小值. [解法一]:如图,OA?(OB?OC)?2?OA?OM??2OA?OM??2OA?OM =?2?(OA?OA2A

)2??2.

M O y C(0,22) M(2,2) O(x,y) A(0,0) B(22,0) x C 即OA?(OB?OC)的最小值为:-2.

B

[解法二]: 选取如图等腰直角三角形ABC,由斜边上的中线AM=2, 则A(0,0) ,B(22,0), C(0,22), M(2,2), 设O(x,y), (且x=y, x?[0,2]), 则OA?(OB?OC)

=(?x,?y)[(22?x,?y)?(?x,22?y)]

=(?x,?y)(22?2x,22?2y)

=2x2?22x?2y2?22y(由x?y得）?4x?42x. 设f(x)=4x2-42x,x?[0,2],结合二次函数图象知:当x= f(x)min=4?

22时, 212?42??2?4??2. 227. (2005全国Ⅰ理)?ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH?m(OA?OB?OC)，

则实数m? ． 【解析】（特例法）设?ABC为一个直角三角形，则O点斜边的中点，H点为直角顶点，这时有

OH?OA?OB?OC，∴m?1．

【点拨】由特殊情况去检验一般情况．

8．(2005全国Ⅲ文、理)已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三点共线，则k= .

【思路点拨】本题主要考查三点共线的等价条件. 【正确解答】解法(1)由三点共线的性质知：

????????????k?44?k2??k=-. 12?55?103????????解法(2)利用向量本身的性质求解:由三点共线,得 AB//AC ，

????????????????????????2AB?OB?OA,AC?OC?OA,解之得k??.

3????????2解法（3）AB?(4?k,?7),AC?(?2k,?2),由题意得(4-k)(-2)-2k×7=0,解得k=?

3【解后反思】由于以原点为起点的向量坐标等于其终点坐标，所以本题也可用定比分点中三点共线的充要条件求解.向量的解法也可以轻易求解的,多种方法在同一题目的使用,既加深我们对题目的了解,又使得我们对数学方法能更好地掌握,所以解决数学问题时,要尽量一题多解,丰富自己的数学知识,加强数学解题能力,加深对学习数学的兴趣,达到解一题,取得是解多题的效果.

???????9. (2005天津文)已知a?2,b?4，a和b的夹角为，以a，b为邻边作平行四边形，则此平行

3四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 ． 【思路点拨】本题以向量为背景，考查余弦定理，要判断较短的一条应是

?所对的对角线. 3?2??2?2??【正确解答】|c|?|a|?|b|?2|a|?|b|cosC?4?16?2?2?4?cos?12

3??22【解后反思】要正确向量的加减法则的几何意义，对向量a=（x,y）的模有几种方法.①|a|?x?y??②|a|2?a2.

10. (2005天津理)在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(?3,4)，若点C在?AOB的平分线上且

????????OC?2，则OC＝ ．

【思路点拨】本题借助角平分线知识考查二倍角公式及向量的有关概念，可根据角平分线的性质代数化处理.

【正确解答】由题意知，

????????2tan?AOC3110tan?AOB??ant?AOC?，得，可设，由，得，k?OC?(?k,3k)|OC|2?21?tan?AOC435????10310所以OC?(?,).

55????解法2：设OC??2cos?,2sin??，则?的终边在第2象限，即sin??0且cos??0，

1???4??1?3?4????arctan??arctan???? ?222?233??????4?4?41?3???arctan??1?sin?arctan??1?? 由 cos2??2cos2??1，得2cos2??1?cos?3?3?55?2?1391?cos???,sin??所以：cos2??，sin2?? 10101010?????22?3??10310?得：OC??2cos?,2sin????? ,?,??????55?1010???10310,) 本题答案填写：(?55【解后反思】解析几何的本质是几何而方法是代数，确定C的位置在于OC的终边，因此设出C点是关键. .

又??