【6套合集】浙江省杭州高级中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析

（2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，﹣（x﹣5）2+5＝所以水面上涨的高度为

米．

，

27．解：（1）设：∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD， ∵cosα＝，∴sinα＝， 过点A作AH⊥BC交于点H，

AH＝AC?sinα＝6＝DF，BH＝2，

如图1，设：FC＝4a，

∴cos∠ACB＝，则EF＝3a，EC＝5a， ∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD， ∴△ADC∽△DCE，

∴AC?CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10?5a， 解得：a＝2或（舍去a＝2），

AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝；

（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，

CD2＝CH2+DH2＝（ACsinα）2+（ACcosα﹣x）2，

即：CD2＝36+（8﹣x）2， 由（1）得：AC?CE＝CD2， 即：y＝

x2﹣x+10（0＜x＜16且x≠10）…①，

（3）①当DF＝DC时，

∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC， ∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC， ∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10， 即：10＝

x2﹣x+10+x，

解得：x＝6； ②当FC＝DC， 则∠DFC＝∠FDC＝α，

则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y， 在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝即：5x+8y＝80，

将上式代入①式并解得：x＝③当FC＝FD，

则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立， 故：该情况不存在； 故：AD的长为6和

．

；

＝

＝，

28．解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2 ∴A（2，0） ∵OA：AD＝1：3 ∴AD＝3OA＝6 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD⊥AB ∴D（2，﹣6）

∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E ∴

解得：

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x

（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、

GN'、M'N'

∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8 ∴抛物线对称轴为直线x＝4

∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6） ∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称 ∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6） ∴AB＝CD＝4，B（6，0）

∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90° ∴∠BAM＝45° ∴BM＝AB＝4 ∴M（6，﹣4）

∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上 ∴M'（6，4），FM＝FM' ∵N为CD中点 ∴N（4，﹣6）

∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上 ∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'

∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'

∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小 ∴C四边形MNGF＝MN+M'N'＝

∴四边形MNGF周长最小值为12

（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为过点P作PE∥y轴交直线OD于点E ∵D（2，﹣6） ∴OD＝

，直线OD解析式为y＝﹣3x

．

．

＝2

+10

＝12

设点P坐标为（t， t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t） ①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧 ∴PE＝yE﹣yP＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t

∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝PE?xP+PE（?xD﹣xP）＝PE（xP+xD﹣xP）＝PE?xD＝PE＝﹣t2+t ∵△ODP中OD边上的高h＝∴S△ODP＝OD?h ∴﹣t2+t＝×2方程无解

②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧 ∴PE＝yP﹣yE＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t

∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝PE?xP﹣PE（?xP﹣xD）＝PE（xP﹣xP+xD）＝PE?xD＝PE＝t2﹣t

∴t2﹣t＝×2

×

×

，

解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6 ∴P（6，﹣6）

综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为

（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L ∵KL平分矩形ABCD的面积

∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4 ∴K（m，0），L（2+m，0） 连接AC，交KL于点H ∵S△ACD＝S四

边形ADLK．

＝S矩形ABCD

∴S△AHK＝S△CHL ∵AK∥LC ∴△AHK∽△CHL