江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研（二模）测试数学（文理）试题（解析版）

2018届高三第二次调研测试

南通、徐州、扬州、宿迁、淮安等六市

数学学科参考答案及评分建议

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合U?? ?1，0，1，2，3 ?，A???1，0，2 ?，则eUA? ▲ ．

【答案】?1，3?

2． 已知复数z1?a?i，z2?3?4i，其中i为虚数单位．若

z1为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ． z2【答案】4

33． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间?40，100?上，其频率分布直方图如图 所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．

开始 【答案】30

S←1 频率 组距 i←1

0.030

i←i ? 1 0.025

S←S×5 0.015

0.010 i < 4 Y 0.005

N

40 50 60 70 80 90 100 成绩/分

输出S

（第3题）

4． 如图是一个算法流程图，则输出的S的值为 ▲ ． 结 束 【答案】125 （第4题）

5． 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于

32 cm2的概率为 ▲ ．

1

【答案】

36． 在△ABC中，已知AB?1，AC?2，B?45?，则BC的长为 ▲ ．

【答案】2?6

2y27． 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x??1有公共的渐近线，且经过

32点P?2，3，则双曲线C的焦距为 ▲ ．

【答案】43 8． 在平面直角坐标系xOy中，已知角?，?的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点

1)，则tan(???)的值为 ▲ ． A(1，2)，B(5， 【答案】9

79． 设等比数列?an?的前n项和为Sn．若S3，S9，S6成等差数列，且a8?3，则a5的值为 ▲ ． 【答案】?6

b，c均为正数，且abc?4(a?b)，则a?b?c的最小值为 ▲ ． 10．已知a，??

【答案】8

?x≤3，?11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组?x?3y?3≥0，表示的平面

??x?3y?3≥0 区域内，则面积最大的为 ▲ ． 【答案】(x?1)2?y2?4

?e?x?1，x?0，?212．设函数f(x)??（其中e为自然对数的底数）有3个不同的零点， 3??x?3mx?2，x≤0 则实数m的取值范围是 ▲ ． 【答案】?1，??? BC?4，CD?2，DA?3，则AC?BD的值为 ▲ ． 13．在平面四边形ABCD中，已知AB?1， 【答案】10

x14．已知a为常数，函数f(x)?的最小值为?2，则a的所有值为 ▲ ．

3a?x2?1?x2【答案】4，1

4填空题要求：

第6题：答案写成2+3，复合根式也算正确。

第11题：题目要求“圆C的标准方程”，写成圆的一般方程不给分，不配方不给分。 第12题：写成m?1或者?mm?1?也算正确。

第14题：两解缺一不可，只有一个正确不给分。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，设向量a??cos?，sin??，b???sin?，cos??，

c??1，3．

22（1）若a?b?c，求sin(???)的值；

（2）设??5π，0???π，且a//?b?c?，求?的值．

6解：（1）因为a??cos?，sin??，b???sin?，cos??，c??1，3，

22所以a?b?c?1，

且a?b??cos?sin??sin?cos??sin(???)． …… 2分

因为a?b?c，所以a?b2????2 2

?c2，即a??2 a?b ??b??1， ………4分

所以1?2sin(???)?1?1，即sin(???)??1． …… 6分

2 （2）因为??5π，所以a??3，1．

622???因为a//?b?c?，所以?3?cos??3??1?sin??1??0． ……10分

2222 化简得，1sin??3cos??1，所以sin???π??1． …… 12分

22232? 依题意，b?c??sin??1，cos??3． …… 8分

22?

因为0???π，所以?π???π?2π．

333 所以??π?π，即??π． …… 14分

236注意：1.a?b??cos?sin??sin?cos??sin(???)与a2 ??2 a?b ??b2 ??1， 每个2分，没有先后顺

序。

2.不写“?π???π?2π”扣1分。

333

16．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB ??AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异

A C 于端点），且∠ABE?∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．

求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；

F B （2）BC // 平面AEF．

E A1 C1

B1

（第16题） 证明：（1）在三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1 // CC1．

因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1． …… 2分 又AE⊥BB1，AEAF?A，AE，AF?平面AEF，

所以BB1⊥平面AEF． …… 5分 又因为BB1?平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C． …… 7分 （2）因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE ?∠ACF，AB ??AC， 所以Rt△AEB ≌Rt△AFC．

所以BE ? CF． …… 9分 又由（1）知，BE ???CF．

所以四边形BEFC是平行四边形．

从而BC ?? EF． …… 11分 又BC?平面AEF，EF?平面AEF，（三个条件缺一不可）

所以BC // 平面AEF． …… 14分

注意：1.缺少“在三棱柱ABCA1B1C1中”或者写成“由题意知”都不行，没有就扣掉7分，采取“突

然死亡法”，严格标准；

2.“5分点”中五个条件缺一不可，缺少任何一个条件扣掉该逻辑段以及本小题后续分值，共计5分。

3.“14分点”中三个条件缺一不可，缺少任何一个条件扣掉该逻辑段得分，共计3分。

17．（本小题满分14分）

2y2x如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆2?2?1(a?b?0)的短轴端点，P是 ab椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y?x?3时，线段PB1的长为42． （1）求椭圆的标准方程；

（2）设点Q满足：QB1?PB1，QB2?PB2．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值． y

B1

Q P OB2 x

解：设P?x0，y0?，Q?x1，y1?．

（1）在y?x?3中，令x?0，得y?3，从而b ? 3． …… 2分

2?x2y22x?3?1，???2?9?1． 由?a 得x2?9a?y?x?3?2 所以x0??6a2． …… 4分

9?a22 因为PB1?x02??y0?3??2x0，所以42?2?6a2，解得a2?18．

9?a2y2x 所以椭圆的标准方程为??1． …… 6分 189 （2）方法一：

y?3 直线PB1的斜率为kPB1?0，

x0x 由QB1?PB1，所以直线QB1的斜率为kQB1??0．

y0?3x 于是直线QB1的方程为：y??0x?3．

y0?3x 同理，QB2的方程为：y??0x?3． …… 8分

y0?32y0?9 联立两直线方程，消去y，得x1?． …… 10分

x022x02y02x0y22xy0?在椭圆? 因为P?x0，?1上，所以??1，从而y0?9??．

1892189x 所以x1??0． …… 12分

2S?PB1B2x?0?2． …… 14分 所以

S?QB1B2x1 方法二：

设直线PB1，PB2的斜率为k，k?，则直线PB1的方程为y?kx?3． 由QB1?PB1，直线QB1的方程为y??1x?3．

k2y2x 将y?kx?3代入??1，得2k2?1x2?12kx?0， 189k．…… 8分 因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，所以x0?0，从而x0??1222k?12222x0y0x0y22xy0?在椭圆? 因为P?x0，?1上，所以??1，从而y0?9??．

18921892y0?3y0?3y0?9????1，得k???1． …… 10分 所以k?k??2x0x022kx0?? 由QB2?PB2，所以直线QB2的方程为y?2kx?3．