中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第8章课后习题详解

★★4．平面过原点

O，且垂直于平面?1:x?2y?3z?2?0，?2: 6x?y?5z?2?0求此

平面方程。

思路：根据条件，已知平面过原点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。 解：设所求平面?和已知平面?1、?2的法矢分别为n、n1、n2，

i∵?jk??1，???2，∴n?n1，n?n2?n?n1?n2?123?13i?13j?13k

6?15可选择?的法矢n?{1,1,?1}，∴?：x?y?z?0

★★5．指出下列各平面的特殊位置：

（1）x（5）

?1； （2）3y?2?0； （3）2x?3y?6?0； （4）x?3y?0；

； （7） EMBED Equation.3

。

y?z?2； （6）

答：（1）该平面平行于yoz面；（2）该平面平行于xoz面；（3）该平面平行于z轴；

（4）该平面平行于z轴且过原点，即过z轴；（5）该平面平行于x轴；（6）该平面平行于y轴且过原点，即过y轴（7）该平面过原点 ★★6．求平面 EMBED Equation.3 知识点：平面及向量的方向余弦 解：∵平面 EMBED Equation.3 别为：

EMBED Equation.3 quation.3

2

∴点 EMBED Equation.3

到平面的距离 EMBED Equation.3

适合下列条件之一： 垂直； （3）与 EMBED

∴?? EMBED Equation.3 ??????的方程为： EMBED Equation.3 ★★8．确定 EMBED Equation.3 （1）经过点 EMBED Equation.3 Equation.3

平行；

成 EMBED Equation.3

。

经过点 EMBED Equation.3 与平面 EMBED Equation.3

，∴点代入平面方程可得：垂直，∴两平面的法矢 EMBED

角； （5）与原点的距离等于3； （6）

（4）与 EMBED Equation.3

或 EMBED Equation.3

所在的平面与 EMBED Equation.3

的距离等于

，有条件 EMBED Equation.3

的法矢 EMBED Equation.3

，∴和x、y、z轴的夹角余弦分

和各坐标轴的夹角余弦

的值，使平面 EMBED Equation.3 ； （2）与 EMBED Equation.3

在y轴上的截距为 EMBED Equation.3 解：（1）平面 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Equation.3

垂直，

（2）平面 EMBED Equation.3 ∴?? EMBED Equation.3 ?????? （3）平面 EMBED Equation.3 Equation.3

平行

∴?? EMBED Equation.3 ?????? （4）平面 EMBED Equation.3

与平面 EMBED Equation.3 平行，两平面的法矢 EMBED

与平面 EMBED Equation.3 成 EMBED Equation.3

角，两平面的法矢 EMBED Equation.3 ∴?? EMBED Equation.3 ?????? （5）平面 EMBED Equation.3 （6）平面 EMBED Equation.3 式方程： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

★9．求点 EMBED Equation.3

夹角为 EMBED Equation.3

与原点的距离等于3，∴?? EMBED Equation.3 在y轴上的截距为 EMBED Equation.3

，根据平面的截距

到平面 EMBED Equation.3

的距离。

解：根据点到平面的距离公式： EMBED Equation.3 ★★★10．求平行于平面 EMBED Equation.3 x?的平面方程。

y?z?100且与球面x2?y2?z2?4相切

思路：所求平面?//平面x?y?z?100，所以可知?的法矢，由?与球面相切的条件又可知

球心到平面的距离。

解：∵所求平面?//平面x?y?z?100，∴?的法矢n?{1,1,1}，设?的方程为：

x?y?z?D?0，∵?与球面相切，∴球心到平面的距离为球半径10，

∴d?D3?2?D??23??：x?y?z?23?0

x?2y?2z?21?0与7x?24z?5?0的夹角的平分面的方程。

★★★11．求平面

知识点：平面与平面的夹角、点到平面的距离

思路：两平面的夹角平分面上的点应满足到两平面的距离相等

解：设所求平面?上的动点坐标(x,y,z)，∵?是平面x?2y?2z?21?0与平面

7x?24z?5?0的夹角的平分面，∴(x,y,z)到两平面的距离相等，于是：

x?2y?2z?213?7x?24z?525?25(x?2y?2z?21)??3(7x?24z?5)，

?2x?25y?11z?270?0, or 23x-25y?61z?255?0

习题7-7

, 2)且平行于直线★1．求过点(3,?1知识点：直线的对称式方程 解：所求直线L//直线

x?3z?1?y?的直线方程。 43x?3z?1，∴L的方向矢s?{4,1,3}，又已知L过点(3,?1 , 2) ?y?43∴L：

x?3y?1z?2 ??413 , 5)和M2(?1 , 0,6)的直线方程。 ★2．求过两点M1(2,?1知识点：直线的对称式方程

解：∵所求直线L过两点M1(2,?1 , 5)和M2(?1 , 0,6)，L的方向矢s可取为

s?M1M2?{?3, 1, 1}，∴L：

x?2y?1z?5 ???311★★3．用对称式方程及参数方程表示直线??2x?y?3z?2?0。

x?2y?z?6?0?知识点：直线的各种表达式之间的转换 解：∵直线L表达为两平面交的一般方程形式：??2x?y?3z?2?0，则L的方向矢s和两平面的法

?x?2y?z?6?0?2x?y?2?0矢都垂直，∴s?2?1?3?7i?j?5k，取L上的一点：令z?0??

x?2y?6?0?12?1214x?2/5y?14/5z?( , , 0)，∴L的对称式方程：??，

557?15x?2/5y?14/5z214???t?x?7t?,y??t?,z?5t L的参数方程：

7?1555ijk?x?2y?z?7?3x?6y?3z?8★★4．证明两直线?与?平行。

?2x?y?z?72x?y?z?0??证明：根据上一题解答可知直线L1??x?2y?z?72?1?3i?j?5k 的方向矢s1?1??2x?y?z?7?211ijkijk?3x?6y?3z?82?1??3i?j?5k ?s1??s2， 直线L2?的方向矢s2?1?2x?y?z?02?1?1∴L1//L2

?x?2y?z?1?0?2x?y?z?01)且与两直线?★★★5．求过点(1,2 , 和?都平行的平面方程。

x?y?z?1?0x?y?z?0??思路：所求平面?和两直线平行，则说明?的法矢和两直线的方向矢都垂直。

解：设所求平面?的法矢为n；两直线L1：?分别为s1,s2。 ∵?//L1，?//L2?x?2y?z?1?0?2x?y?z?0和L2：?的方向矢

?x?y?z?1?0?x?y?z?0?n?s1, n?s2?n?s1?s2，其中

is1?1j2k1ij1k1ijk?1?i?2j?3k , s2?2?11??j?k，

1?111?1∴n?s1?s2?1?2?3?i?j?k，

0∴?：(x?1)?(y?2)?(z?1)★★6．求过点(0, 2 , 4)且与两平面

?0?x?y?z?0

x?2z?1和y?3z?2平行的直线方程。

思路：所求直线L与两已知平面平行，所以L的方向矢和两平面的法矢都垂直。

解：设所求直线L的方向矢为s，两平面?1：x?2z?1和?2：y?3z?2的法矢分别为n1,n2

i∵L//?1 , L//?2jk2??2i?3j?k，

?s?n1,s?n2?s?n1?n2?1001?3∴L：

xy?2z?4 ???231x?4y?3z??的平面方程。 5211 , ?2)且通过直线★★★7．求过点(3, 思路：易知：已知点不在直线上，所以通过点和直线的平面方程和通过三点的平面方程的求法相似。 解：设所求的平面?的法矢为n，直线L：

∵L在?上，∴nx?4y?3z??的方向矢s，s?{5,2,1} 521?s；

取直线上的一点M(4,?3, 0)，和已知点M0(3, 1 , ?2)组成向量MM0?{?1, 4,?2}，

i易知：njk?MM0?n?s?MM0?521??8i?9j?22k， ?14?2?0??8x?9y?22z?59?0

∴?：?8(x?3)?9(y?1)?22(z?2)