2020年高考数学一轮复习专题4.5历史中的数列练习(含解析)

A．1盏 C．5盏 【答案】B

B．3盏 D．9盏

【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝

a11－27

1－2

＝381，解得a1＝3.

2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝方得至其关．要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则第三天走了( )

A．60里 C．36里 【答案】B

1

【解析】由题意得每天走的路程构成等比数列{an}，其中q＝，S6＝378，则S6＝

21

＝192，所以a3＝192×＝48.

4

3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为( )

A．18 C．21 【答案】C

【解析】依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其中a1＝5，前30项30和为390，于是有

5＋a30

＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布．

2

B．20 D．25 B．48里 D．24里

a1?1－6?2

??

1?

?

11－2

＝378，解得a1

4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：

1111

第一步：构造数列1，，，，…，.

234n第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an. 则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于( ) A．n C．n(n－1) 【答案】C

【解析】 a1a2＋a2a3＋…＋an－1an

5

2

B．(n－1) D．n(n＋1)

2

＝·＋·＋…＋· 1223n－1n＝n?

2

nnnnnn1?1＋1＋…＋?

n－1n??1×22×3?

111112?－?＝n?1－＋－＋…＋ n－1n??223?＝n·

2

n－1

＝n(n－1)． n5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，1

每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的1份为( )

7

551011A. B. C. D. 3636【答案】A

6．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（ ） （结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．） A．2.2天 【答案】C

【解析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其

1a1=3，公比为2，其前B．2.4天 C．2.6天 D．2.8天

n项和为An，则An=

2???1 ， 2?13(1?2??)1?211. 莞的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．则Bn=由题意可得：∴n=log26=

3(1?2??)

11?21=

2???16n

，整理得：2+??=7，解得2?122=6，或2=1（舍去）．

nn

lg6lg2=1+

lg3lg2≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等.故选：C．

7．我国古代数学著作《九章算术》由如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为??，现将该金杖截成长度相等的10段，记第??段的重量为????(??=1,2,?,10)，且??1

??10，若48????=5??，则??=（ ）

6

A．6 B．5 C．4 D．7 【答案】A

【解析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列， 记为{an}，设公差为d，则{

2??1+??=2 151，解得a1=16，d=8，

2??1+17??=410×91×=15， 2818∴该金杖的总重量M=10×16+

151615∵48ai=5M，∴48[+（i﹣1）×]=25， 即39+6i=75，解得i=6，故选：A．

8．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1

44寸表示115寸1分（1寸=10分）.66已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )

A．72.4寸 B．81.4寸 C．82.0寸 D．91.6寸 【答案】C

【解析】设晷影长为等差数列?an?，公差为d， a1?130.0， a13?14.8，则130.0?12d?14.8，解得

d??9.6，∴a6?130.0?9.6?5?82.0，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸，故选C.

10．如图，最大的三角形是边长为2的等边三角形，将这个三角形各边的中点相连得到第二个三角形，依此类推，一共得到10个三角形，则这10个三角形的面积的和为_____．

7

【答案】

4√311?() 3410【解析】设以2为边长的等边三角形的面积为a1，根据题意，设得到的第n个等边三角形的面积为an，则{an}是以??1=√×22=√3，为首项，以??=4为公比的等比数列，∵公比q≠1．故这10个三角形的面积和为??10=故填：

10a1(1?q)1?q

341=

√3[1?(q10)]

11?4=

4√31(1?)． 34104√31(1?10)． 3411.设某数列的前n项和为Sn，若

Sn为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d(d≠0)S2n的等差数列{an}为“和谐数列”，则该等差数列的公差d＝________. 【答案】2 【解析】由

1Sn1??＝k(k为常数)，且a1＝1，得n＋n(n－1)d＝k?2n＋×2n2n－1d?，即2＋(n－1)d＝4k2S2n2??

＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0，∵对任意正整数n，上式恒成立，∴

??d4k－1

?

?2k－1?

＝0，

2－d＝0，

d＝2，??

得?1

k＝，??4

∴数列{an}的公差为2.

12．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝悌的美德外传，则第八个孩子分得棉________斤． 【答案】 184

【解析】 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}， 其中d＝17，n＝8，S8＝996.

8×7

由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，解得a1＝65.

2由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.

13．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比

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