2020年高考数学一轮复习专题4.5历史中的数列练习(含解析)

第五讲 历史中的数列

【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 考向一 等差数列

【例1】程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝悌的美德外传，则第八个孩子分得棉________斤． 【答案】 184

【解析】 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996. 8×7由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，解得a1＝65.

2由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184. 【举一反三】

1.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是 斤. 【答案】184

【解析】用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,

由题意,得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996, 即8a1+8×72

×17=996,解得a1=65.所以a8=65+7×17=184.

2．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个整数中能被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{????}，那么此数列的项数为（ ） A．58 【答案】A 【解析】

B．59

C．60

D．61

1

由数能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2的数， 故????＝2+（??﹣1）35＝35??﹣33． 由????＝35??﹣33≤2019 得??≤58+

22，??35∈??+，故此数列的项数为：58．故选：??.

考向二 等比数列

【例2】.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则此人第4天和第5天共走的路程为( ) A.60里 【答案】C

1

【解析】由题意，每天走的路程构成公比为的等比数列.设等比数列的首项为a1，则

2

18

12

B.48里

C.36里

D.24里

a1?1－6?2

??

1?

?

11－2

＝378，解得

a1＝192，则a4＝192×＝24，a5＝24×＝12，a4＋a5＝24＋12＝36.所以此人第4天和第5天共走了36里.

【举一反三】

1.．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据问题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为________． 【答案】 8

【解析】 由题意知其每天织布尺数构成公比为2的等比数列，可设该女子第一天织布x尺， 则

x?1－25?

5

＝5，解得x＝， 1－231

5n所以前n天织布的尺数为(2－1)，

31由

5nn(2－1)≥30，得2≥187， 31

又因为n为正整数，所以n的最小值为8.

2．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为． 1

【答案】 2

2

28

【解析】 设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28,28q石，

q∴

281＋28＋28q＝98，∴q＝2或. q2

1又0

考向三 新概念中的数列

【例3】．记m＝

d1a1＋d2a2＋…＋dnan，若{dn}是等差数列，则称m为数列{an}的“dn等差均值”；若{dn}是等

nn－1

比数列，则称m为数列{an}的“dn等比均值”．已知数列{an}的“2n－1等差均值”为2，数列{bn}的“3

2

等比均值”为3.记cn＝＋klog3bn，数列{cn}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有Sn≤S6，求实数kan的取值范围． 1311

【答案】≤k≤ 54【解析】 由题意得2＝

a1＋3a2＋…＋?2n－1?an，

n所以a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，

所以a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－2(n≥2，n∈N)， 两式相减整理得an＝

2*

(n≥2，n∈N)． 2n－1

*

2*

当n＝1时，a1＝2，符合上式，所以an＝(n∈N)．

2n－1

b1＋3b2＋…＋3n－1bnn－1

又由题意得3＝，所以b1＋3b2＋…＋3bn＝3n，

n所以b1＋3b2＋…＋3

n－2

bn－1＝3n－3(n≥2，n∈N*)，两式相减整理得bn＝32－n(n≥2，n∈N*)．

2－n当n＝1时，b1＝3，符合上式，所以bn＝3(n∈N)．

*

所以cn＝2n－1＋k(2－n)＝(2－k)n＋2k－1， 易知数列{cn}是等差数列． 因为对任意的正整数n都有Sn≤S6，

??c6≥0，所以?

?c7≤0，?

1311

解得≤k≤.

54

【举一反三】

1．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第n次“扩展”后得到

3

的数列为1，x1，x2，…，xt,2，并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2－1，n∈N，求数列{an}的通项公式．

3＋1*

【答案】an＝(n∈N)．

2

【解析】 an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，

所以an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2] ＝log2(1·x1·x2·x3·…·xt·2)＝3an－1， 1?1?a－所以an＋1－＝3?n?，

2?2?113

又a1－＝log24－＝，

222

?1?3

所以数列?an－?是一个以为首项，以3为公比的等比数列，

2?2?

2

3

3

3

3

2

n*

n133＋1n－1*

所以an－＝×3，所以an＝(n∈N)．

2222．对于正项数列{an}，定义Hn＝

nn为{an}的“惠兰”值．现知数列{an}的“惠兰”值Hna1＋2a2＋3a3＋…＋nan1

＝，则数列{an}的通项公式为________．

n1*

【答案】 an＝2－(n∈N)

n【解析】 由题意得

n1

＝，

a1＋2a2＋3a3＋…＋nann2

即a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n， 所以当n≥2时，

①

a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)2，

①－②得nan＝n－(n－1)＝2n－1， 1

所以an＝2－(n≥2)．

2

2

②

n当n＝1时，a1＝1，也满足此通项公式， 1*

所以an＝2－(n∈N)．

n【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行 1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )

4