八年级数学下册 16.3分式方程 一道分式方程的一题多解素材 新人教版

一道分式方程的一题多解

例 解方程

x?1x?6x?2x?5 ???x?2x?7x?3x?6分析：解分式方程的常用方法一般是：去分母，化分式方程为整式方程、解这个整式方程和验根这三大步骤；有时也视方程的具体情况而选用特殊的方法．

本题我们可根据分母的特点，将题目中四个分式移项组合使方程的两边的两个分母的差为1，两边再分别通分；也可以根据分式分子的整式的次数不低于分母的整式的次数，将分式化成“整式+分式”的形式，再计算；还可两边通分后在利用换元法解．

解法1 常规解法．

按“解分式方程的一般步骤”去解．运算量大、比较复杂．过程略．

解法2 移项组合

原方程经移项，重新组合，得：

x?1x?2x?5x?6 ???x?2x?3x?6x?7两边分别通分并化简，得：

?1?1?

(x?2)(x?3)(x?6)(x?7)去分母，得：

x2?13x?42?x2?5x?6

解这个整式方程，得x= - 经检验，x= -

9 29是原方程的根． 2解法3 化“整式+分式”法． 原方程变形为：

1111， ?1??1??1?x?2x?7x?3x?61111即， ???x?2x?3x?6x?71?通分得：

11?，

(x?2)(x?3)(x?6)(x?7)去分母，解这个整式方程，得： x= -

9 29是原方程的根． 2经检验，x= -

解法4 换元法 通分并整理得，得：

2x2?16x?192x2?16x?27?2

x2?9x?14x?9x?18

令2x?16x?19=y , x?9x?14=z,则原方程变形为：

22yy?8 ?zz?4即 yz +4y =yz +8z ,∴y=2z

即 2x?16x?19=2（x?9x?14） ， 解这个整式方程， x= -

229 29是原方程的根． 2经检验，x= -

评注：给出了三种技巧解法，当然常规解法是最基本的，要熟练掌握；而技巧解法是对那些“特殊结构”的方程而言的，要发现解题技巧，一方面要学会观察，并善于灵活运用已学过的知识和方法；另一方面，要多作练习，不断体会和总结，逐步形成并提高自己的能力．在考场上赢得时间，取得考试的胜利！

练习

解方程

x?7x?9x?10x?6 ???x?6x?8x?9x?5